师：同学们好，今天我们一起来学习高中物理选修3 - 5第16章的第四节。碰撞在生活中十分常见，这种物理现象有什么特点，又遵循哪些规律呢？这就是本节课我们要研究的内容。既然碰撞常见，那生活中有哪些碰撞现象呢？同学们请看大屏幕，这里通过三幅动图展示了一些生活中的碰撞场景。第一幅动图是打台球，第二幅是打保龄球，第三幅是汽车撞击实验。通过观察这些动图，结合之前所学知识，我们不难发现，碰撞是一种作用时间极短的物理现象。碰撞时物体间相互作用力很大，一般内力远大于外力，所以通常碰撞过程中系统的动量是守恒的。既然动量守恒，那碰撞过程中系统的能量又会怎样呢？系统的机械能是否守恒，我们可以通过实验来探究。
下面进入本节课的第一个部分——实验探究，探究碰撞过程中系统的机械能是否守恒。先看实验一，在支架下方悬挂着两个相同的金属小钢球。左边的小球竖直悬挂在最低点，它球心在后面白纸上投影的高度，就是后面三条线最下面那条线的高度。我们把右边的球向右上方拉起，拉到后面三条线最上面那条线的高度，然后从静止释放该球，右边的小球将会在某点撞击左边的小球。
同学们，下面我播放视频，请仔细观察碰后两球的运动情况。同学们，你们观察到了什么现象？我们看到碰后右球静止，左球获得速度上摆，而且上摆的高度恰好是小球最初释放的高度。这个实验现象说明了什么呢？我们可以对该实验过程进行能量分析。首先，右球向下运动过程中，重力势能转化为动能。右球在最下方撞击左球，左球获得动能向左上方摆动，其摆动高度和右球最初释放高度相同。这说明在碰撞前后系统的动能相等，碰撞过程中无机械能损失，即碰撞过程中系统的机械能是守恒的。
是不是所有碰撞过程中系统的机械能都守恒呢？同学们，我们来看第二个实验。与第一个实验不同的是，我们在左边小球的右侧贴上双面胶，让右边小球下来撞击它后二者会粘在一起，以共同速度向左上方摆动。我们思考一下，假如这个碰撞过程中系统的机械能守恒，它们应该向左上方摆到多高的位置呢？我们把最下面这条线的平面定为零势能面，设小球质量都是m，上下两条线的高度设为h。那么最初系统的重力势能就是mgh。碰撞后，假如它们向左上方摆动的高度是(h_1)，那么最后系统的重力势能就是(2mgh_1)。如果碰撞过程中系统的机械能守恒，必然有(2mgh_1 = mgh)，所以(h_1 = 0.5h)，也就是会摆到中间这条虚线的高度。下面同学们，我来播放视频，大家仔细观察它们能不能摆到(h_1)的高度。同学们，我们发现它并不能摆到(h_1)这个高度，这说明什么问题呢？
这说明这个碰撞过程中系统的机械能是不守恒的。通过前面两个实验，我们发现有的碰撞过程中机械能守恒，有的碰撞过程中机械能不守恒。因此，我们可以把碰撞分为两类，这两类分别是什么，又都有哪些特点和规律呢？接下来我们看本节课的第二个部分——理论分析的第一大点，弹性碰撞和非弹性碰撞。
我们如何定义弹性碰撞和非弹性碰撞呢？如果碰撞过程中机械能守恒，这样的碰撞叫做弹性碰撞；如果碰撞过程中机械能不守恒，这样的碰撞叫做非弹性碰撞。这两种碰撞恰好对应我们刚刚做的那两个实验。下面我们首先来介绍弹性碰撞的问题。
先看弹性碰撞的碰撞过程，我们通过动画向同学们展示一下。同学们请仔细观察，水平面上有两个小球(M_1)和(M_2)，(M_1)过来撞击(M_2)，它们之间发生弹性碰撞。注意观察撞击压缩形变，然后恢复形变，直至形变完全恢复，两球分开。
通过这个动画我们发现，弹性碰撞可以分为四个过程，分别是碰撞前、压缩形变阶段、形变完全恢复阶段、碰撞后。从能量角度来看，这个过程是系统的一部分动能转化为弹性势能，然后弹性势能又全部转化为动能，因为它能完全恢复原状，所以该碰撞称为弹性碰撞。碰撞过程中系统的机械能守恒，始末状态的动能不变。生活中哪些物体之间的碰撞可看成是弹性碰撞呢？钢球、玻璃球碰撞时形变能够完全恢复，能量损失很小，它们的碰撞可以看成弹性碰撞。这些发生弹性碰撞的物体之间有什么样的碰撞规律呢？我们来看第二个问题，弹性碰撞的规律。
为了更好地研究弹性碰撞的规律，我们在水平面上构建一个具体的弹性碰撞模型。如图所示，水平面上一个质量为(M_1)的小球以速度(V_1)与原来静止的(M_2)小球发生一维弹性碰撞。试分析碰后小球(M_1)和(M_2)的速度(V_1')和(V_2')。现在我们已知两球质量(M_1)和(M_2)，以及碰前(M_1)的速度(V_1)，(M_2)静止。下面我们来求发生弹性碰撞后两球的速度(V_1')和(V_2')。我们可以通过寻找碰撞前后物理量的关系来求解。本题中，对于水平面没有说明是光滑还是粗糙。实际上，倘若水平面光滑，系统外力为零，碰撞前后系统动量守恒；倘若水平面粗糙，碰撞过程中两球存在摩擦力，但由于碰撞相互作用时间极短，系统内力远大于外力，我们也可认为碰撞过程中系统动量守恒，这种守恒称为近似守恒。因此，我们可以对(M_1)和(M_2)这个系统根据动量守恒定律列出方程：(M_1V_1 = M_1V_1' + M_2V_2')。这里的(V_1)是小球(M_1)碰撞前一瞬间的速度，(V_1')是小球(M_1)碰撞后一瞬间的速度，(V_2')是小球(M_2)碰撞后一瞬间的速度。因为这是弹性碰撞，我们还可以根据碰撞前后机械能守恒得到第二个方程：(\frac{1}{2}M_1V_1^2 = \frac{1}{2}M_1V_1'^2 + \frac{1}{2}M_2V_2'^2)。
现在有两个方程，就可以解出两个未知数(V_1')和(V_2')。具体推导过程如下：上面两个式子分别是动量守恒和机械能守恒。先对第一个式子移项合并同类项得到(M_1(V_1 - V_1') = M_2V_2')；对第二个式子同样移项合并同类项，再把平方差公式展开，得到(M_1(V_1 - V_1')(V_1 + V_1') = M_2V_2'^2)。把第一个式子代入第二个式子，经过化简可得(V_1 + V_1' = V_2')。再把这个式子代回第一个式子，就会得到(M_1V_1 = M_1V_1' + M_2(V_1 + V_1'))。
最后我们可以求出碰撞后(M_1)球的速度(V_1' = \frac{M_1 - M_2}{M_1 + M_2}V_1)，同样把这个结果代入前面式子，就可以得到碰后(M_2)球的速度(V_2' = \frac{2M_1}{M_1 + M_2}V_1)。通过观察这两个式子，我们发现两球碰撞后的速度与碰前(M_1)球的速度(V_1)有关，还和两球质量(M_1)和(M_2)有关。下面我们针对两球质量(M_1)和(M_2)进行具体讨论。
假如(M_1 = M_2)会怎么样呢？如果(M_1 > M_2)碰后会如何？如果(M_1 < M_2)碰后又会怎样？先看第一种情况，如果(M_1 = M_2)，代入公式很明显可以发现碰后(M_1)球的速度(V_1' = 0)，(V_2' = V_1)，这表示碰完之后(M_1)球静止，(M_2)球获得了(M_1)球碰前的速度，这种情况我们称为交换速度。是不是这样呢？我们可以通过实验验证一下。同学们，请仔细观察两个质量相同的小钢球在最低点发生弹性碰撞，看看会观察到什么实验现象。通过实验观察，我们发现这种情况恰好就是交换速度的过程。
再看第二种情况，如果(M_1 > M_2)，观察公式可知(V_1' > 0)，(V_2' > 0)，这说明碰完以后两球都是向前运动。
第三种情况，如果(M_1 < M_2)，通过公式发现(V_1' < 0)，(V_2' > 0)，这说明碰完之后(M_1)球会发生反弹，(M_2)球向前运动。我们对第二种情况取极限分析，如果(M_1)远远大于(M_2)，即质量很大的球撞一个静止质量很小的球，它们发生弹性碰撞，碰完之后(V_1')、(V_2')分别等于多少呢？通过公式可以发现(V_1' = V_1)，(V_2' = 2V_1)，这说明碰完之后(M_1)球的速度几乎没有变化，(M_2)球以两倍的(V_1)速度撞出。
再看第三种情况，(M_1)远远小于(M_2)时，观察公式可得碰完之后(M_1)球的速度(V_1' = -V_1)，(V_2')几乎等于(0)，这说明碰完之后(M_1)球以原速率反弹，(M_2)球几乎处于静止状态。同学们课下可以找一个大一点的铅球和一个小的乒乓球，让它们之间进行碰撞，感受一下这种质量悬殊情况下的碰撞结果。
这里讲的是一个运动的小球撞一个静止的小球发生弹性碰撞的碰后规律。如果两球碰前都在运动，它们发生弹性碰撞，碰后的情况又会怎样呢？这就是我们这节课要思考的第一个问题。如果碰撞前两球都有初速度，如何计算一维弹性碰撞后两球的速度呢？因为是碰撞，所以碰撞前后系统动量还是守恒的，机械能也守恒，我们还是可以列出两个方程，通过这两个方程求出碰后的速度(V_1')和(V_2')。对求出的(V_1')、(V_2')结果是否可靠呢？我们可以取一些特殊值进行讨论。假如取(V_2 = 0)，就是前面讲的特殊情况，此时(V_1')等于前面推导出的相应项，(V_2')也等于前面相应项。如果取(M_1 = M_2)，两个质量相同的小球发生这种碰撞，结果会怎么样呢？此时(V_1' = V_2)，(V_2' = V_1)，这说明碰完之后(M_1)球的速度变成了(M_2)球碰前的速度，(M_2)球碰后的速度等于(M_1)球碰前的速度，同样满足质量相同交换速度。
讲完弹性碰撞问题，下面给同学们分析第二个问题——非弹性碰撞。首先还是分析非弹性碰撞的过程，通过动画展示非弹性碰撞过程。同学们请仔细观察，撞击压缩形变，然后形变不完全恢复。通过这个动画我们发现，非弹性碰撞也分为四个阶段，分别是碰撞前、压缩形变阶段、形变不完全恢复阶段、碰撞后。由于非弹性碰撞形变不能完全恢复，所以碰撞过程中系统的机械能有损失，系统机械能减小。
下面看看非弹性碰撞的规律，还是在水平面上，质量(M_1)的小球以速度(V_1)撞击一个静止的(M_2)小球。如果它们发生的是非弹性碰撞，首先满足动量守恒，即(M_1V_1 = M_1V_1' + M_2V_2')。同样，碰撞过程中系统机械能减小，(\frac{1}{2}M_1V_1^2 > \frac{1}{2}M_1V_1'^2 + \frac{1}{2}M_2V_2'^2)。生活中哪些物体之间的碰撞可以看成是非弹性碰撞呢？木制品之间的碰撞、颗粒间的碰撞，一般形变不能完全恢复，它们之间的碰撞可认为是非弹性碰撞。本节课开始时，两球碰后粘在一起的实验，这种碰撞就是非弹性碰撞。但这个实验碰完后两球粘在一起以共同速度运动，这种非弹性碰撞又有什么特点呢？我们看下面一个问题，非弹性碰撞的一个特例——完全非弹性碰撞。
首先看完全非弹性碰撞的过程。通过动画观察，两个小球(M_1)球和(M_2)球发生完全非弹性碰撞，(M_1)球撞击(M_2)球，然后压缩形变最大，达到共速，以共同速度完成碰撞。通过观察这个动画，我们发现完全非弹性碰撞可以分为三个阶段，首先是碰撞前，然后是压缩形变到共速阶段，最后是碰撞后。该碰撞过程中形变一点也不能恢复，所以我们把这个碰撞称为完全非弹性碰撞。
再看第二个问题，完全非弹性碰撞的规律。还是在水平面上，质量为(M_1)的小球以速度(V_1)撞一个静止的(M_2)小球，碰后的速度是(V_1')和(V_2')，如果发生的是完全非弹性碰撞，分析一下它有什么规律。首先，碰后共速，(V_1' = V_2')；其次，碰撞过程中系统动量守恒，即(M_1V_1 = M_1V_1' + M_2V_2')；第三，碰撞过程中系统机械能减小，(\frac{1}{2}M_1V_1^2 > \frac{1}{2}M_1V_1'^2 + \frac{1}{2}M_2V_2'^2)。这里要注意，由于完全非弹性碰撞压缩到最大形变共速后一点形变也没有恢复，所以这种情况下系统机械能损失最大。既然完全非弹性碰撞系统机械能损失最大，那么对这个碰撞过程所损失的机械能如何计算呢？
我们看思考问题。两个质量均为(m)的小球，其中一个小球以速度(V_0)与静止的另一个球发生完全非弹性碰撞，该碰撞过程中系统损失的机械能是多少？这就是前面做的第二个实验。要计算碰撞过程中系统损失的机械能，首先要知道碰撞前系统的机械能，也就是碰撞前系统的动能(E_{k0} = \frac{1}{2}mV_0^2)。还要知道碰撞后系统的机械能，系统碰撞后的速度不知道，我们可以根据动量守恒定律(mV_0 = 2mv)得到碰撞后的速度(v = \frac{1}{2}V_0)，因此可以算出碰撞后系统的动能(E_{k} = \frac{1}{2}×2m×v^2 = \frac{1}{4}mV_0^2)。
既然知道碰撞前系统机械能和碰撞后系统机械能，就可以算出这个碰撞过程中系统损失的机械能(\Delta E = \frac{1}{4}mV_0^2 = \frac{1}{2}E_{k0})，即这个碰撞过程中系统损失了一半的机械能。
这里给同学们详细讲解了弹性碰撞和非弹性碰撞，下面对碰撞的规律做一个小结。碰撞的规律可以用三句话12个字来总结：第一个，动量守恒；第二个，动能不增；第三个，速度合理。下面对第三个“速度合理”给大家解释一下，前面已经解释过动量和动能问题。什么叫速度合理呢？看两种情景。第一种情景，如果两个物体同向运动发生碰撞，碰撞前速度是(V_1)和(V_2)，碰后速度是(V_1')和(V_2')，碰前必须(V_1 > V_2)，碰后(V_1' \leq V_2')。为什么呢？因为碰前只有(V_1 > V_2)，后面的球才有可能追上前面的球发生碰撞；碰后只有(V_1' \leq V_2')，碰撞才结束。否则，如果碰后(V_1')大于(V_2')，后面球速度大于前面球速度，碰撞就没有结束，还要继续碰撞。
第二种情况，如果两个球迎面撞上，碰前没有速度要求，肯定能撞上。碰后要求至少有一球改变速度方向，或者两球都静止。为什么要求碰后至少有一球改变速度方向呢？因为碰完后两球不可能贯穿对方，所以至少有一个球要改变速度方向，或者两球碰完后都静止。
这里按照碰撞过程中系统机械能是否守恒，将碰撞分为弹性碰撞和非弹性碰撞。对碰撞还有其他分类方式吗？我们看本节课的第二大点——对心碰撞和非对心碰撞。究竟什么是对心碰撞，什么是非对心碰撞呢？看相关定义。对心碰撞又称为正碰，指碰撞前球的运动速度方向在两球心的连线上，碰撞后两球速度仍沿这条直线，这种碰撞叫做对心碰撞。非对心碰撞又称为斜碰，指碰撞前球的运动速度方向不在两球心的连线上，这种碰撞叫做非对心碰撞。看下面图，(M_1)以速度(V_1)向右运动，球心连线是这条虚线，(V_1)不在这条连线上，碰完之后，(M_1)和(M_2)球的速度分别是(V_1')和(V_2')。前面所研究的碰撞实际上都是对心碰撞，如何研究非对心碰撞呢？
对于非对心碰撞，因为它也是碰撞，所以碰撞前后动量守恒。我们可以把它进行正交分解，在相互垂直的两个方向上分别利用动量守恒定律，这是一个二维平面碰撞。看这个图，(M_1)以速度(V_1)撞击过来，之后速度变成(V_1')、(V_2')，我们以(V_1)的方向建立(x)轴，垂直方向建立(y)轴，可以在(x)和(y)两个方向上分别列动量守恒方程。(x)方向有(M_1V_1)（碰撞前的动量）( = M_1V_1'_x + M_2V_2'_x)，(y)方向碰撞前动量是(0)，则(0 = M_2V_2'_y - M_1V_1'_y)。
我们研究的碰撞往往是小球等宏观物体间的碰撞，对于微观粒子间的碰撞又有什么不一样呢？看本节课的第三个大问题——散射。什么叫散射呢？它指微观粒子相互接近时并不像宏观物体那样接触，所以微观粒子的碰撞又叫做散射。由于粒子与物质微粒发生对心碰撞的概率很小，多数粒子在碰撞后飞向四面八方，我们称它为散射。课本给出一副金原子核对阿尔法粒子的散射示意图，该图片展示的就是历史上著名的一次散射实验——卢瑟福的阿尔法粒子散射实验。卢瑟福正是通过阿尔法粒子散射实验提出了著名的原子核式结构模型。卢瑟福如何通过阿尔法粒子散射实验提出原子结构核式模型呢？这个问题我们在后面第18章原子结构里会进一步研究探讨。
下面看第三部分归纳总结。本节课和同学们介绍了碰撞这种物理现象。从碰撞过程中机械能是否守恒，可分为弹性碰撞和非弹性碰撞，非弹性碰撞里要特别关注完全非弹性碰撞这个特例。从碰撞速度方向分类，可分为对心碰撞和非对心碰撞。对于微观粒子的碰撞，我们称为散射。本节课就上到这里，同学们再见。