师：同学们好，今天我们来共同学习新的一节内容。通过上一节“追寻守恒量”的学习，我们已经初步认识了能量的概念。物体由于运动而具有的能量叫做动能，相互作用的物体凭借其位置而具有的能量，我们称之为势能。我们先来回顾一下伽利略的斜面实验，由静止释放的小球在对接斜面上往复运动，当小球速度为0时，它能到达原来的高度。
伽利略斜面实验表明，物体的动能和势能之间可以相互转化。既然不同形式的能量可以相互转化，且在转化过程中能量守恒，那么各种不同形式的能量该如何定量地度量呢？若不能很好地回答这个问题，又何谈能量的转化与守恒呢？幸运的是，在物理学发展过程中，人们建立起各种不同形式能量的概念，并给出了它们的定量表达式。这是因为人们建立并不断发展了功的概念，那么功的概念是如何建立的呢？我们又该怎样计算它呢？这是本节课需要重点讨论的内容。
实际上，功的概念起源于早期工业发展的需要，那时工程师们需要找到比较蒸汽机效能的办法。实践中发现，如果燃烧同样的燃料，机械举起重物的高度与重量的乘积可衡量机器的效能。为比较蒸汽机的优劣，工程师们把物体重量与其上升高度的乘积叫做功。到了19世纪20年代，法国物理学家科里奥利进一步扩展这一思想，明确提出作用于物体上的力和受力点沿力方向的位移的乘积叫做力的功。
人类对能量转化及其守恒的认识与功的概念紧密相关。一个过程若存在做功现象，必然存在能量转化现象，即物体在力作用下能量发生变化，这个力一定对物体做了功。请同学们看以下三幅图片，告诉我物体哪种形式的能量发生了变化，是哪种力对它做了功？
第一幅图片，货物在起重机作用下，重力势能增加；列车在机车牵引下，动能增加；第三幅图，握力器在手的压力下，弹性势能增加。其实关于功的概念，初中我们就学习过，大家还记得初中时功的定义吗？一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段距离，力就对物体做了功。通过高中学习，更严谨的说法是把距离换成位移，即一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，力就对物体做了功。
我们再看刚才的三幅图片，请同学们进一步思考，这个力使物体发生位移了吗？起重机的拉力使货物向上发生一段位移，拉力对货物做了功；列车在机车牵引力作用下发生一段位移，牵引力对列车做了功；手压弹簧产生形变，即发生一段位移，压力对弹簧做了功。由此可见，力和物体在力方向上发生的位移是做功两个不可缺少的因素，请大家思考。
那么如何定量计算功的大小呢？大家请看这幅图，如果一个水平力拉动物体在水平面上使其发生一段位移，即力的方向与位移方向一致，这个力的功该如何计算呢？这部分内容初中我们就学过，请大家回顾一下。如果用F表示力，从起点到终点的线段用l表示，如果用W表示功，那么功应该如何计算呢？好，同学们应该都能写出来，功的大小等于力的大小与位移大小的乘积。那么如果力的方向与位移方向不一致，这时功又该如何计算呢？大家看，在水平面上用一斜向上的拉力F使物体发生一段位移，此时位移方向与力的方向不在一条直线上，成某一角度α，这时我们如何计算这个力的功呢？
我们有两种方案。首先可以把力F进行分解，将力F分解在沿位移方向以及垂直于位移方向，分解为两个分力F?和F?，分解法则遵循平行四边形定则。我们看F?这个分力，它的方向与位移方向一致，那么F?所做的功就等于F?l。分力F?的方向跟位移方向垂直，物体在F?方向上没有发生位移，F?做的功等于0，所以力F的功实际上就是分力F?所做的功。那么我们有W = F?l，其中分力F? = F×cosα，最终我们得到功的表达式W = Fl×cosα，α为力的方向与位移方向之间的夹角。
当然我们也可以选择分解位移，大家想一想，如果分解位移该怎么分解呢？我们可以把位移沿力的方向以及垂直于力的方向进行分解。这样，在力方向上的位移实际上是l?。因此力F的功实际上就是F×l?，根据几何关系，l? = l×cosα，我们最终得出结论，力F的功W = Fl×cosα，α为力的方向与位移方向之间的夹角。通过以上讨论，无论把力分解到位移方向上，还是把位移分解到力的方向上，我们都能得出W = Fl×cosα，力对物体所做的功等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。下面我们再对功的计算公式W = Fl×cosα做一个简要说明。
W表示力对物体所做的功，它的国际单位是焦耳，简称焦，符号是大写英文字母J。用1牛的力使物体发生1米的位移，那么这个力对物体所做的功记为1焦耳，即1焦耳 = 1牛×1米 = 1牛·米。功是标量，这一点后面还要说明。F表示物体所受到的力，这个力是恒力，也就是说该公式适用于恒力做功的计算。l表示物体发生的位移，一般情况下，我们是以地面为参考系所指的位移。α力与位移之间的夹角，实际上就是力与位移两个矢量方向之间的夹角。具体操作方法是将力与位移两个矢量的有向线段做出，把箭尾画在一起，它们所构成的小于等于180度的角即为力和位移之间的夹角，这一点我们通过后面的例题再来详细说明。
值得注意的是，求解功的计算时，一定要指明是哪个力对物体所做的功。请看例题，如图所示，质量为m = 1千克的物体，沿倾角为37度的斜面由静止下滑。物体与斜面间的动摩擦因数μ = 0.3，下落的竖直高度h = 1米，重力加速度g = 10米/秒2。求：一、在物体下滑过程中重力对物体做的功；二、在物体下滑过程中，支持力对物体做的功；三、在物体下滑过程中，摩擦力对物体做的功。通过读题，同学们可能意识到，我们必须指明求的是哪个力对物体所做的功。那么下面我们先来计算重力对物体的功，物体所受重力竖直向下，物体发生位移沿斜面向下，斜面倾角为θ。根据图中的受力分析，我们可以看出力和位移的夹角与斜面倾角互余，等于$\frac{π}{2} - θ$。根据功的计算公式W = Fl×cosα，我们代入数值进行计算，可得重力的功为10焦耳。
我们再来计算支持力对物体的功。支持力方向与斜面垂直，也就是与位移方向垂直，它们的夹角是90度，我们知道cos90度 = 0，因此支持力的功等于0。我们再来计算摩擦力的功，滑动摩擦力乘以位移乘以力和位移夹角的余弦，这里滑动摩擦力等于μ×FN，其中FN = mg×cosθ。大家注意，滑动摩擦力方向与位移方向正好相反，所成角度为180度，而cos180度 = -1。我们代入数值进行计算，得到滑动摩擦力的功等于 - 4焦。
通过这一题目的计算，我们可以看出功有正负之分，还可能为0，那么对于正功和负功我们应该怎样理解呢？下面我们对做功的各种情形来加以讨论。根据功的计算公式W = Fl×cosα，如果力和位移的夹角α = $\frac{π}{2}$，那么cosα = 0，功W = 0，这表示力F的方向与位移方向垂直，这个力不做功。比如在水平面上运动的小球，它的重力和支持力都与位移方向垂直，这两个力都不做功。