师：同学们好，欢迎来到微课堂，本节课我们一起学习高中物理，人民教育出版社高一年级必修2第六章第二节《太阳与行星间的引力》。当我们抬头仰望神秘浩瀚的星空，是不是总有一种想要探索一番的冲动？天文学在人类早期文明中占据重要地位。在上节课的学习中，大家学习了开普勒关于行星运动的三大定律。我们先来复习一下这三大定律。
开普勒第一定律，也叫轨道定律，内容是：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，这阐述了行星围绕太阳运行的轨道特点。同时由开普勒第一定律可知，行星在绕太阳运行过程中，与太阳之间的距离在不断变化。离太阳最远的地方叫远日点，最近的地方叫近日点。
开普勒第二定律，也叫面积定律，内容是：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。从这个定律我们可以得知，行星在环绕太阳做椭圆轨道运动时是非匀速的，从远日点向近日点运动过程中线速度逐渐增加，从近日点向远日点运动过程中线速度逐渐减小。
开普勒第三定律，也叫周期定律，内容是：所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。对于椭圆来说，经过椭圆中心最长的轴叫长轴，长轴长度的一半叫半长轴，通常用小写字母a表示；与长轴垂直且经过椭圆中心的轴叫短轴，短轴长度的一半叫半短轴，通常用小写字母b表示。该定律的表达式为(a3/T2 = k)，其中(a)指椭圆的半长轴，(T)指行星绕太阳运行的公转周期，(k)是一个常数，并且(k)只与中心天体太阳有关。从开普勒发现前两个定律到第三个定律，中间经历了整整10年时间，其中的艰辛只有开普勒自己能体会。开普勒发现三大定律后欣喜若狂，给国王写信时骄傲地说，他也许需要足足等上100年才会有第一个读者，上帝等了6000年才理解他的作品。
开普勒三大定律解决了行星绕太阳的运动学问题，但并没有给出行星绕太阳运动的动力学原因，即究竟是什么原因让行星围绕太阳运动呢？在之后的几十年里，伟大的科学家们不仅关注开普勒定律，还对其背后的问题进行了深入思考。今天，就让我们穿越回去，探寻历史的答案。
科学家胡克给老师发了这样一段话：“根据我们一批杰出物理学家的预测，明天你课堂的学生中将出现若干未来的伟大科学家。所以我们要求你加入我们的群，参与我们的讨论，以便将我们的科学思想和精神传播给他们。”群名称与行星绕太阳运动的原因有关。接着，Hooke首先抛出问题：各位对行星绕太阳运动的原因有什么想法？
第一位科学家提出自己的观点：天体都有合并的趋势，正是这种合并的趋势使得行星绕太阳运动。
第二位科学家也给出了自己的观点：用磁球模拟地球磁场时，发现磁球周围磁场和地磁场十分相似，因此认为行星和太阳间的作用是电磁力，其大小和物质多少以及距离有关。
第三位科学家紧接着给出论述：恒星周围有可以旋转的物质，这种物质叫以太，它作用在行星上，使得行星绕太阳运动，这一观点受到了水波的启发。
还有科学家提出，接近历史真相的一种说法是：若行星绕太阳运行的轨道是圆形，那么行星受到的引力大小与到太阳距离的平方成反比。但这位科学家表示，自己总觉得有些概念不清楚，导致研究只能到此，无法再深入下去。
之后，牛顿基于前辈们的研究成果进行思考：物体不沿直线运动，无论是改变速度大小还是方向，都需要力。行星做曲线运动或者沿椭圆运动时，都需要指向圆心或者指向椭圆焦点的力，这个力应该就是太阳对行星的引力。牛顿通过牛顿运动定律结合开普勒三大定律，对行星的运动和力进行系统研究，得到重大发现。该发现发表于1687年牛顿的著作《自然哲学的数学原理》一书中。
老师对同学们说：希望你们利用所学知识，跟随老师的步伐，动手动脑，尝试寻找太阳与行星间的引力规律，用心感受科学探究的艰辛与乐趣。牛顿运动定律、曲线运动相关知识、相互作用等，对我们来说都可谓是巨人的肩膀。我们追寻的目标是找到太阳与行星间的引力规律。
从行星的运动入手，需要运用牛顿第二定律来解决问题。对于行星的运动，利用开普勒行星运动定律可知，行星环绕太阳的运动是椭圆运动。牛顿利用自己高超的数学知识解决了椭圆运动模型的力学规律，但对于同学们目前的知识水平来说，解决椭圆轨道模型的力学规律有困难，所以需要对椭圆轨道模型进行简化。
观察各大行星环绕太阳运行的轨道数据，我们发现行星环绕太阳运行的轨道椭圆的半长轴和半短轴之间的差距非常小。比如，地球轨道半长轴长度为(149.6×10^6)千米，半短轴长度为(149.5×10^6)千米，只相差(0.1)，几乎可以忽略不计。观察示意图也可发现，虽然行星环绕太阳运行的轨道是椭圆，但这是一个十分接近圆的椭圆。在突出主要因素、忽略次要因素的前提下，可以把行星环绕太阳运行的轨道近似看成圆周运动，将椭圆运动简化成圆周运动来处理。
在行星环绕太阳做圆周运动的条件下，开普勒三大定律要重新表述。
开普勒第一定律最初表述为：所有行星都分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳处在椭圆的一个焦点上。现在变为：所有行星都分别在大小不同的圆轨道上绕太阳运动，太阳处在圆心位置。
开普勒第二定律表述为：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。在圆轨道上，若相等时间内扫过相等面积，我们可以得出行星环绕太阳的运动为匀速圆周运动。
开普勒第三定律，周期定律，最初表述为：所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。当椭圆轨道变为圆轨道时，不存在半长轴，所以改为：所有行星轨道半径的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，表达式中的(a)换成轨道半径(r)，(r)指的是行星和太阳之间的距离。
我们建立起了行星绕太阳做匀速圆周运动的模型。那么，从运动到受力，牛顿是这样思考的：太阳对行星的引力(F)等于行星做匀速圆周运动的向心力，且太阳对行星的引力跟距离有关，行星离太阳的距离越大，太阳对行星的引力就越小。但具体有怎样的定量关系呢？
跟随牛顿的脚步，我们做出如下推导：设行星的质量为(m)，行星绕行线速度为(v)，行星的公转周期为(T)，行星到太阳的距离为(r)，太阳对行星的引力为(F)。由牛顿第二定律(F = ma)（(a)是向心加速度），结合圆周运动知识可知(a = v2/r)，可得(F = m v2/r) 。因为在牛顿的时代，线速度很难测量，所以用容易测量的周期来代换线速度，即(v = 2\pi r/T)（也就是周长比上周期），从而得到太阳对行星引力的表达式(F = m\frac{4\pi2r}{T2})。