师：同学们好，通过前面两节课的学习，我们认识了两个重要的技术原理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并且能用它们解决一些简单的实际问题。在应用过程中，同学们要注意这两个计数原理的区别。我们先回忆一下计数原理的内容。分类加法计数原理是说，完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有m + n种不同的方法。分步乘法计数原理是说，完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有m×n种不同的方法。在使用分类加法计数原理解题时，分类要做到不重不漏；在用分步乘法计数原理解题时，分步要做到步骤完整。
这节课我们将继续用计数原理来解决实际问题。首先看一个热身练习。如图1，要让电路从a处到b处接通，共有多少条不同的路径？这个问题该用哪个计数原理呢？相信同学们已经有答案了。要完成从a处到b处接通这件事，需要分为两个步骤：第一步，从a处到c处接通；第二步，从c处到b处接通。然后我们可以使用分步乘法计数原理，求出最终的方法数为2×3 = 6种。
我们将问题升级一下。如图2，也要让电路从a处到b处接通，共有多少条不同的路径？这个问题该用哪种计数原理呢？我们一起来分析一下。要完成从a处到b处接通共有三类方案。方案一是走上方，这条路线有三种方法；方案二是从中间这条路线，有一种方法；方案三是走下方这条路线。大家发现，它需要分为两个步骤，先从a到c处接通，再从c到b处接通。我们首先可以用分步乘法计数原理算出方案三的方法数，也就是2×2 = 4种。再结合方案一、方案二和方案三，我们利用分类加法计数原理，可以求出最终的方法数为3 + 1 + 4 = 8种。这个问题实际上既用到了分类加法计数原理，又用到了分步乘法计数原理，属于计数原理的综合应用。
下面我们熟悉一下用计数原理处理综合应用问题。看例一，刚才接触的是电路连接问题，现在看一个程序连接问题。计算机编程人员在编写好程序以后，要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路径，也就是程序从开始到结束的路线，以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块由许多个子模块组成，这是一个具有许多执行路径的程序模块。问这个程序模块有多少条执行路径？
我们来分析下这个题目，要完成这个程序模块的一条执行路径，需要分为两个步骤：先从开始执行到a点，再从a点执行到结束。我们先看第一步，从开始执行到a点的时候，又有三类方案可以完成，分别是子模块一、子模块2和子模块3。从a点执行到结束的时候，也有两类方案可以选择，分别是子模块4和子模块5。也就是说这个题目也需要同时用到两种计数原理。
分析到这里之后，下面我们尝试完成这个题目。我们分两步进行，第一步先用分类加法计数原理算出第一步的方法数，也就是子模块一、子模块2和子模块3的执行路径条数之和，18 + 45 + 28 = 91。按照同样的办法，我们可以求出第二步的方法数，即子模块4与子模块5的执行路径条数之和，38 + 43 = 81。最后我们再使用分步乘法计数原理，可以算出整个模块的执行路径为91×81 = 7371条。例如从开始执行到a点，可以选择子模块一当中的第7条执行路径，从a点执行到结束的时候，可以选择子模块4当中的第5条执行路径。
这个问题还有个地方需要处理，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数。你能帮助程序员设计一个测试方法以减少测试次数吗？通过刚才的运算，我们知道整个程序模块共有7000多条执行路径，如果一一检测，确实需要花费很多时间。细心的同学可能发现，路径与路径之间可能会出现重复的地方，如果重复的地方我们不去重复测试，是不是会大大降低测试的次数？具体方案我们可以这样实施：先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常，总共需要测试的次数为18 + 45 + 28 + 38 + 43 = 172次。再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为3×2 = 6次。这样测试整个模块的次数就变成172 + 6 = 178次，大大降低了测试次数。
这个问题属于计数原理的综合应用，这样的问题还有很多。我们下面尝试把它的解题方法提炼出来。如图所示，它展现的是分步乘法计数原理。从a点到b点处连接需要分为两步，第一步有m种方法，第二步有n种方法，这样完成这件事共有m×n种方法。但实际问题可能会出现这种情况：从a处到c处连接的时候会出现若干个方案，比如三类方案；从c处到b处连接的时候，也会有若干个方案，比如两类方案。同学们思考一下，此时要完成从a处到b处连接这件事共有多少种方法呢？我们一起来看一下。第一步，从a处到c处连接，它的方法数等于各类方案的方法数之和，也就是M1 + M2 + M3；从c处到b处连接，第二步的方法数为N1 + N2。这样我们可以根据分步乘法计数原理求出要完成从a处到b处连接这件事，它的方法数为第一步的方法数与第二步的方法数的乘积形式。
我们再来看一个题目，从a处到b处连接的过程中，每一步都分为若干种方案，也就是它属于步中有类问题。那还有没有其他的类型？我们再来看一个例题。例二，随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一种汽车牌照都必须有三个不重复的英文字母和三个不重复的阿拉伯数字，并且三个字母必须合成一组出现，三个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
我们一起来分析一下，能给多少辆汽车上牌照，实际上就是问符合要求的字母与数字组合有多少种不同的方法。我们把题目的要求看清楚，由3个英文字母要求不重复，要求合成一组；有3个数字要求不重复，也要求合成一组。那么符合要求的牌照有几种情况呢？大家发现，根据题目要求，这个牌照可以分为两类：一类是三个字母合成一组在左，三个数字合成一组在右；第二类是三个数字在左，三个字母在右。也就是说这个题目需要分为两类进行。