师：同学们好，这节课我们来学习几个常用函数的导数。前面我们已学过导数的意义和概念，知道在物理中导数可表示瞬时速度，在几何中可表示切线斜率，在代数中能表示函数在点(x)处的瞬时变化率。今天我们要学习的是常值函数和简单幂函数的导数，内容有两点：一是根据导数定义求函数导数，二是依据导数性质分析函数图像变化情况。
首先看根据定义求函数导数的方法，分两步：第一步求平均变化率(\frac{\Delta y}{\Delta x})，即(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x})；第二步求极限，也就是当(\Delta x)趋于(0)时，(\frac{\Delta y}{\Delta x})趋于的值。
来看问题一求导数：
(y = c)（(c)是常数）；
(y = x)。
先计算(\frac{\Delta y}{\Delta x})，对于常值函数(f(x) = c)，(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = c - c = 0)，所以(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{c - c}{\Delta x} = 0)。当(\Delta x)趋于(0)时，(\frac{\Delta y}{\Delta x})趋于(0)，即(y^\prime = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}0 = 0)。根据定义，函数(y = c)的导数是(y^\prime = 0)。同学们想想，能不能给出一个物理解释？如果把(y = c)表示路程关于时间的函数，那么(y^\prime = 0)就表示某物体做瞬时速度始终为(0)的运动，即物体一直处于静止状态。
同样来求(y = x)的导数，第一步求(\frac{\Delta y}{\Delta x})，即(\frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x})，化简结果是(1)。当(\Delta x)趋于(0)时，(\frac{\Delta y}{\Delta x})趋于(1)，即(y^\prime = 1)。所以函数(y = x)的导数是(y^\prime = 1)。类似地，也给出一个物理解释，如果将(y = x)表示路程关于时间的函数，(y^\prime = 1)可解释为某物体做瞬时速度始终为(1)的运动，那么这个物体做的是匀速直线运动。
以上我们根据导数定义求出了(y = c)和(y = x)的导数，并给出了物理解释。接下来看下一组求导数：
(y = x^2)；
(y = \frac{1}{x})；
(y = \sqrt{x})。
先求(y = x^2)的导数，先计算(\frac{\Delta y}{\Delta x})，这里(\Delta y = (x + \Delta x)^2 - x^2)，所以(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x})。将分子化简，得到(\frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x})，分子分母约掉一个(\Delta x)，得到(2x + \Delta x)。(\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x + \Delta x)是关于(\Delta x)的表达式，随(\Delta x)变化而变化。当(\Delta x)趋于(0)时，(2x + \Delta x)趋于(2x + 0 = 2x)，所以(f^\prime(x) = 2x)，即函数(y = x^2)的导数是(y^\prime = 2x)。
再求(y = \frac{1}{x})的导数，先计算(\frac{\Delta y}{\Delta x})，(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x})，所以(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x}}{\Delta x})。将分式分子分母同乘以(x(x + \Delta x))进行化简，分子变为(x - (x + \Delta x) = -\Delta x)，分母变为(x(x + \Delta x)\Delta x)，约掉(\Delta x)后化简结果是(-\frac{1}{x(x + \Delta x)})。当(\Delta x)趋于(0)时，(x + \Delta x)趋于(x + 0 = x)，所以(\frac{\Delta y}{\Delta x})趋于(-\frac{1}{x \cdot x} = -\frac{1}{x^2})，即(f^\prime(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}-\frac{1}{x(x + \Delta x)} = -\frac{1}{x^2})，函数(y = \frac{1}{x})的导数是(y^\prime = -\frac{1}{x^2})。
接着求(y = \sqrt{x})的导数，先计算(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x})，此式为最简形式但不能直接取极限，因为(\Delta x)趋于(0)时分母趋于(0)，所以将分子分母同乘以(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})进行变形。利用平方差公式，分子化为(x + \Delta x - x = \Delta x)，式子变为(\frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})})，约掉(\Delta x)后得到(\frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}})。当(\Delta x)趋于(0)时，(\frac{\Delta y}{\Delta x})趋于(\frac{1}{\sqrt{x + 0} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}})，所以函数(y = \sqrt{x})的导数是(y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}})。