师：同学们好，今天我们来学习数学选修2 - 2第12课第1.4节生活中的优化问题举例第一课时。首先，我们对上节课运用导数求函数最值的基本方法和步骤进行回顾复习。
第一步，确定函数的定义域，化简$f(x)$解析表达式。
第二步，对$f(x)$求导，令导函数等于0，找出导函数的零点。
第三步，列表格分区间，标正负表趋势。列表格时，根据自变量$x$、导函数和函数分列三栏。第一栏内，依据定义域的区间端点和导函数的零点，对区间进行划分。第二栏，按照第一栏所分区间，判断导函数在区间内的符号，递增标正号，递减标负号。第三栏，根据导函数的正负确定函数的增减性，用斜向上箭头表示函数单调递增，斜向下箭头表示函数单调递减。
第四步，根据表格中函数的单调性、极值，比较极值和端点值，从而获得函数的最值。有时为进一步研究函数问题，还需进行第五步趋向性分析，即在定义域的端点处，包括正负无穷大处做极限分析。
下面通过一个小练习，应用运用导数求函数最值作图的基本步骤。同学们拿出纸和笔动手做。
首先确定函数定义域，由$\ln x$有意义，可得$x > 0$。
第二步对函数$f(x)$求导，得到导函数等于$2x - 1 - \frac{1}{x}$，通分后为$\frac{2x^{2} - x - 1}{x}$，因式分解得$\frac{(2x + 1)(x - 1)}{x}$。令导函数等于0，得到零点$1$和$-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$不在函数定义域内，故舍去。由定义域的区间端点和导函数零点$1$划分区间，列出表格，得到区间$(0, 1)$到$(1, +\infty)$。判断导函数符号，在$(0, 1)$上取负值，在$(1, +\infty)$上取正值。函数在$(0, 1)$上单调递减，在$(1, +\infty)$上单调递增。在$x = 1$处导函数为0，其左右导函数左负右正，所以$x = 1$处函数获得极小值，同时也是函数的最小值。端点处函数值不存在，所以无最大值。
为做出函数简图，进行趋向性分析。当$x$趋向于$0$时，$x^{2}$、$x$趋向于$0$，而$\ln x$趋向负无穷大，那么$-\ln x$趋向正无穷大，所以$f(x)$趋向正无穷大。当$x$趋向正无穷大时，由基本初等函数增长快慢可知，$\ln x$增长慢于$x$，$x$增长慢于$x^{2}$，起决定性作用的是$x^{2}$，所以$f(x)$趋向正无穷大。根据导数研究函数的性质，可作出函数简图。
这是运用导数研究函数最值及其作图的基本方法和步骤。下面回到本节课，在日常生活中，我们经常会碰到成本最低、利润最大，质量最好、用料最省，用工最少、效率最高等问题，我们把这些问题称为优化问题。本节课我们将运用导数作为数学工具来解决一些生活中的优化问题。请看实例。
例1海报的版面尺寸设计问题。学校和班级主题活动常需张贴海报宣传，现设计一张竖向张贴海报，要求版型面积为128平方分米，上下两边各空2分米，左右两边各空1分米。如何设计海报尺寸才能使四周空白面积最小？
回顾高一运用函数求解实际问题的一般步骤：首先审清题意，了解问题背景；第二步引入相关变量，建立相应函数关系式；第三步运用数学方法对函数问题求解；第四步把函数问题的解还原到实际问题中，获取实际问题答案，即审题、建模、解模、作答。
本题审题可知是平面图形的面积问题，属于几何模型。海报由四个小长方形构成，1号、2号面积相等，3号、4号面积相等。若设版型的高为变量$x$，则宽为$\frac{128}{x}$。
第二步建模，可设版型的高为$x$，那么版型的宽是$\frac{128}{x}$。空白部分面积可直接将1、2、3、4号长方形面积表示出来，1号图形面积为$(x + 4)×1$，再乘2得到1、2号面积和；3号图形面积为$\frac{128}{x}×2$，由此建立面积函数关系式$S = 2(x + 4) + 2×\frac{128}{x}$。同时要注意变量取值范围，结合实际问题，写出函数定义域$x > 0$。也可以通过间接方法，用海报的面积$(x + 4)(\frac{128}{x} + 2)$减去板心面积128，得到四周空白部分面积函数关系式，两种方法得到的关系式一样。
第三步解模，根据面积关系式，运用导数求解。首先求导，导函数$S^\prime = 2 - \frac{512}{x^{2}}$，通分提取2得$2\frac{x^{2} - 256}{x^{2}}$，因式分解为$2\frac{(x + 16)(x - 16)}{x^{2}}$，获取导函数的零点$16$和$-16$，$-16$不在函数定义域内舍去。由区间端点$0$和导函数零点$16$列表格划分区间，得到$(0, 16)$到$(16, +\infty)$。判断导函数符号，在$(0, 16)$上取负值，在$(16, +\infty)$上取正值。函数在$(0, 16)$上单调递减，在$(16, +\infty)$上单调递增。在$x = 16$处导函数取0值，其左右导数左负右正，所以$x = 16$既是函数的极小值点，也是最小值点。此时版型的宽为$\frac{128}{16} = 8$分米。即版型的高为16分米，宽为8分米时，海报四周空白部分面积最小。
解决此问题经历了审题、建模、解模、作答四个过程。有同学提出，建模得到的面积函数$2x + \frac{512}{x} + 8$类似对勾函数，可使用基本不等式求解。根据基本不等式求最值的条件“一等二定三能等”，此函数符合，等号成立条件为$x = \frac{256}{x}$，即$x = 16$时取等号。这种做法比用导数更简单。这里要告诉同学们两点：一是根据特定的函数类型，选择合适的数学方法求函数最值是可行的；二是导数是求函数最大最小值的有力工具，特别是对复杂函数，它是一种通法。