师：同学们好，欢迎走进今天的数学课堂。今天我们继续学习人教A版选修2 - 2第一章导数及其应用的第六节——微积分基本定理。首先，我们回顾一下之前学过的内容。定积分的概念是什么呢？通过前面的学习，我们知道函数(f(x))在区间([a,b])上的定积分，本质是一个和式的极限，用符号表示为(\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{b - a}{n} \cdot f(\xi_{i})) 。在这个式子中，(\frac{b - a}{n})表示将积分区间([a,b]) (n)等分后每个小区间的长度，我们用(\xi_{i})表示每个小区间内自变量的取值，用(f(\xi_{i}))替代这个区间内函数的取值。将这两个量的乘积从(1)到(n)求和，再在(n)趋向于无穷大的条件下求极限，这就是函数(f(x))在([a,b])上的定积分。
那么，根据定积分的定义，如何求一个定积分呢？之前我们一般分为以下步骤：分割，即把给定的积分区间进行(n)等分；然后在每个区间内进行近似代替；接着对每个区间近似代替后的结果进行求和；最后在求和的基础上取极限，得到的就是定积分在给定区间上的值。
好，同学们，你们能计算这个定积分吗？我们来看，被积函数是(\frac{1}{x})，积分区间是([1,2])。我们利用前面学过的知识来尝试求解。设(f(x)=\frac{1}{x})，接着将区间([1,2])进行(n)等分，每个小区间可表示为([1 + \frac{i - 1}{n}, 1 + \frac{i}{n}])，(i = 1,2,\cdots,n)，这样每个小区间的长度(\Delta x = \frac{1}{n})。然后我们在每个小区间内进行近似代替，取(\xi_{i})为每个区间的右端点，将其对应的函数值与相应区间的长度(\Delta x)相乘，再对(n)个这样的结果进行求和，就可得到式子。
也就是说，(\frac{1}{x})这个函数在([1,2])上的定积分约等于(\sum_{i = 1}^{n} f(1 + \frac{i}{n}) \cdot \Delta x)，代入函数解析式化简后，可得到(\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n + i})。如果要进一步计算，就需要对这个求和结果进行化简。我们知道(\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n + i} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{n + n})，但我们似乎无法完成这个化简。这就提醒我们，对于某些函数的定积分，从定义的角度计算存在困难。
由此，我们产生思考：能不能找到一种更简便有效的方法来计算函数的定积分呢？我们知道，在微积分中，导数和定积分是两个最基本且重要的概念，它们之间有什么联系呢？能否借助这种联系来求定积分呢？为了解开这些问题，我们来看下面的探究。
同学们，看一个做变速直线运动的物体，它的运动规律是(y = y(t))，这里(y)表示物体运动的位移关于时间的函数。从前面的学习可知，它在任意时刻(t)的导数就是物体运动的速度(v(t))。如果设这个物体在时间段([a,b])上的位移为(s)，那么你们能不能分别用(y(t))和(v(t))这两个函数来表示位移(s)呢？
大家看，首先从函数(y = y(t))的角度，位移(s)就是(t = b)时对应的函数值与(t = a)时对应函数值的差，所以位移(s)可以用(y)函数表示为(y(b) - y(a))。那它能用(v(t))表示吗？同学们继续看，我们可以借助定积分来表示。首先将给定区间([a,b])进行(n)等分割成(n)个小区间，物体在([a,b])这个时段内的位移(s)，就可以分割为这(n)段位移之和，即(\Delta s_{1} + \Delta s_{2} + \cdots + \Delta s_{n})。
我们知道物体在每个时段内做的依然是变速运动，当(\Delta t)很小时，可以把物体在每个小区间内的运动当作匀速直线运动。那么，我们可以用匀速运动产生的位移(h_{i})来替代第一个时段内的位移(\Delta s_{1})，选取左端点对应的速度作为这一段行驶的速度。同样道理，在第(i)个区间上，利用左端点对应的速度所对应的匀速运动的位移(h_{i})来代替此时的真实位移(\Delta s_{i})，最后一个区间也是如此。
根据运动公式，当(\Delta t)很小时，每个(\Delta s_{i})约等于(h_{i})，而(h_{i} = v(t_{i - 1}) \cdot \Delta t = y^\prime(t_{i - 1}) \cdot \Delta t)，由于(\Delta t = \frac{b - a}{n})，所以它还可以写成(\frac{b - a}{n} \cdot y^\prime(t_{i - 1}))，这样就完成了近似替代的过程。
换个角度解释近似替代过程。同学们看，研究第二个区间的情况，把左端点(t_{i - 1})对应的点记为(P)点，把曲线(y = y(t))在点(P)处的切线记为(PD)，构造出如图所示的直角三角形(DCP)。显然此时的(h_{i})就是(DC)。由导数的几何意义可知，函数在点(P)处切线的斜率即为函数在(t_{i - 1})处对应的导数值，而切线的斜率又是倾斜角的正切，也就是图中(\angle DPC)的正切值。所以(h_{i})还可以表示为(\tan \angle DPC \cdot \Delta t)，即(t_{i - 1})处的导数值与(\Delta t)的乘积。可以发现两者效果一样。
完成近似替代后，接下来就是求和过程。前面通过分割，整个位移(s)可以表示为(\sum_{i = 1}^{n} \Delta s_{i})，通过近似代替，转化为(\sum_{i = 1}^{n} h_{i})，再通过前面分析，可转化为(\sum_{i = 1}^{n} v(t_{i - 1}) \cdot \Delta t)，也就是(\sum_{i = 1}^{n} y^\prime(t_{i - 1}) \cdot \Delta t)。
同学们可以想象，随着区间个数(n)趋向于无穷大，每个时段的时间差(\Delta t)会逐渐减小。当(n)趋向于无穷大时，(\Delta t)趋向于(0)，这时求和结果就趋向于物体的实际位移(s)，所以位移(s)可以表示为这样一个和式的极限。当然，将(v(t_{i - 1}))替换一下，也可转化为另一种和式的极限。
同学们，看到这两个和式的极限，你们想到什么了吗？对，根据前面回顾的定积分概念，这里的和式极限其实就是对应函数的定积分。所以根据定积分概念，这个位移可以表示为函数(v(t))从(a)到(b)的积分，也可以表示为(y^\prime(t))从(a)到(b)的积分。
再结合前面已经用(y(b) - y(a))表示出物体的实际位移，我们就得到这样一个等式：(\int_{a}^{b} v(t)dt = \int_{a}^{b} y^\prime(t)dt = y(b) - y(a))。这个式子表明了什么呢？是的，如果做变速直线运动的物体运动规律是(y = y(t))，那么(v(t))就是(y(t))的导函数，(v(t))在区间([a,b])的定积分就是物体产生的位移(y(b) - y(a))。