师：同学们好，今天我们来学习第二章第一节合情推理与演绎推理。从前有个财主想教儿子识字，请来一位教书先生。先生在学生的笔杆上写一横，告诉他这是“一”字；写两横，说是“二”字；写三横，说是“三”字。学到这儿，儿子就告诉父亲自己学会写字，不用先生教了。于是财主辞退了先生。一天，财主要邀请一位姓万的朋友，让儿子写张请帖。大家猜财主的儿子怎么写的？没错，他写了一万个横线。这里面便是由一横、二横、三横进行归纳推理。
接着看，1742年德国著名数学家哥德巴赫观察到：6可以写成3 + 3，8可以分成3 + 5，10可以分成5 + 5。这几个偶数都能写成两个奇质数的和的形式。再比如12可以分成5 + 7，14可分成7 + 7，16可以分成5 + 11。继续下去，1000可以看成29与971这两个奇质数之和，1002也是如此。于是他得出猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。写成等式就是2N = P1 + P2（N∈N，且N≥3，P1、P2为质数）。
在哥德巴赫猜想的过程中，首先给出具体材料进行观察和分析，进而猜想得出一般性结论。由此我们得出归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。它的特点是从部分到整体，由个别到一般。比如常见的铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，我们就可猜想所有金属都能导电。再比如与分数有关的，2/3＜3/4＜4/5，2/3＜5/6，5/6也可写成(3 + 2)/(3 + 3)。
那同学们能猜想得到什么呢？思考一下。a分之b小于a + m分之b + m（其中a、b、m均为正实数，且a＞b）。这些都是猜想，是由归纳推理出来的。下面我们来看几个例子。
例一，已知数列的首项a? = 1，且递推式a??? = a? / (a? + 1)（n为正整数），归纳出这个数列的通项公式。思考一下。
数列的通项公式表示的是数列的第n项与序号n之间的对应关系。所以可以先根据已知的递推公式算出数列的前几项。a? = 1，a? = a? / (a? + 1) = 1 / 2，同理，代入n = 3，即a? = 1 / 2，求得a?的值为1 / 3。当n = 4时，递推可得a?为1 / 4。同学们发现了什么？发现数列的前四项都等于它相应序号的倒数，由此可猜想这个数列的通项公式是a? = 1 / n。
例二，由下列等式找出规律，第n个等式可为：同学们可以在纸上写出来。
左边依次是12 - 22 + 32 - 42 + 52 - 62……正负相间。我们用(-1)??1来表示正负，奇数项为正，偶数项为负，所以左边可写成12 - 22 + 32 - 42 + …… + (-1)??1 × n2。
再来观察右侧。同样用(-1)??1来表示符号。去掉符号之后，右边依次是1、3、6、10，1可以看成1，3可以看成1 + 2，6可以看成1 + 2 + 3，10是在6的基础上加4，即右侧可写成(-1)??1 × (1 + 2 + …… + n)，由等差数列求和公式，右边可化简成(-1)??1 × n(n + 1) / 2。这是归纳推理在等式中的应用。
我们可以从例一、例二总结得出进行等式中归纳推理的一般规律：已知等式进行归纳推理的方法，首先要特别注意所给等式中项数和次数等方面的变化规律，还要注意等式中结构形式的特征，从而提炼出它们的综合特点，最后运用归纳推理得出一般性结论。
在数列中如果用到归纳推理，常常用于猜测数列的通项公式a?或者前n项和S?。首先可以通过已知条件求出数列的前几项或者前n项和，再根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解，最后运用归纳推理写出数列的通项公式或者前n项和公式。这是例一和例二从等式中应用的归纳推理。下面活学活用。