师：大家好，今天我们来学习综合法与分析法第一课时。下面先来看学习目标：一、能用综合法解决一些数学问题；结合具体数学知识，分析综合法的思考过程与特点；通过实例分析，归纳出综合法的操作流程框图；通过本节学习，养成言之有理、论证有据的习惯。
同学们，下面复习一下前面所学内容。前面我们学习了推理，推理有合情推理和演绎推理，合情推理得到的结论不可靠，需要证明。从今天开始，我们将陆续学习两类基本的证明方法：直接证明和间接证明。我们先从直接证明开始学起。
下面来看一道例题。已知(a\gt0)，(b\gt0)，求证(a(b^{2} + c^{2}) + b(c^{2} + a^{2})\geq4abc)。大家说说此题的证明思路。
我们一起来分析本题。在本题中，已知条件(a\gt0)，(b\gt0)相对简单。结论是一个不等式，右侧由(a)、(b)、(c)三个数相乘的(4)倍构成，不等式左侧是两项的和，每一项都是一个数乘以另外两个数的平方和。所以要证明此题，只需把平方和转化成乘积的形式。同学们思考一下，如何转化呢？
在教材必修(5)中，我们学过一个重要的不等式：(x^{2} + y^{2}\geq2xy)。下面看具体的证明过程。
因为(b^{2} + c^{2}\geq2bc)，且(a\gt0)，两边同时乘以(a)，可得(a(b^{2} + c^{2})\geq2abc)。同理，对于不等式左端另外一项，因为(c^{2} + a^{2}\geq2ac)，(b\gt0)，所以(b(c^{2} + a^{2})\geq2abc)。将这两式对应相加，可得(a(b^{2} + c^{2}) + b(c^{2} + a^{2})\geq4abc)。
这种证明方法就是今天要给大家介绍的综合法。那什么是综合法呢？我们来看一下它的概念。一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法称为综合法，又称为顺推证法。对于这个概念，同学们要把握以下几点：第一，要利用好已知条件，比如刚才例题中的(a\gt0)，(b\gt0)；还有某些数学定义、公理、定理，就像刚才例题中出现的不等式的诸多性质。经过逻辑推理，最终推导出所要证明的结论成立。
若用(p)表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，用(q)表示所要证明的结论，那么综合法用框图可以表示为：若(p)成立，可以推出(Q_{1})成立；(Q_{1})成立，可以推出(Q_{2})成立；(Q_{2})成立，可以推出(Q_{3})成立，以此类推，最终由(Q_{N})成立推出结论(q)成立。所以综合法是一种由因导果的证明方法。
同学们，下面来看例一。如图所示，三角形(ABC)在平面(\alpha)外，直线(AB)交平面(\alpha)于点(P)，直线(BC)交平面(\alpha)于点(Q)，直线(AC)交平面(\alpha)于点(R)。求证点(P)、(Q)、(R)三点共线。请同学们思考一下本题该如何作答。
我们来分析一下本题。同学们想一想，证明三点共线有哪些方法呢？
结合刚才思考的证明方法和图像，我们看，因为点(P)、点(Q)、点(R)都在平面(\alpha)内，同时点(P)、点(Q)、点(R)也在平面(ABC)内，所以点(P)、点(Q)、点(R)是两个平面的公共点。我们结合上述分析来进行证明。
因为直线(AB)交平面(\alpha)于点(P)，直线(BC)交平面(\alpha)于点(Q)，直线(AC)交平面(\alpha)于点(R)，所以点(P)、点(Q)、点(R)在平面(\alpha)内，记为①式。同时，点(P)在直线(AB)上，点(Q)在直线(BC)上，点(R)在直线(AC)上，记为②式。由于直线(AB)、直线(BC)、直线(AC)都在平面(ABC)内，所以点(P)、点(Q)、点(R)在平面(ABC)内。因此，点(P)、点(Q)、点(R)是平面(ABC)与平面(\alpha)的公共点。因为两平面相交，有且只有一条交线，所以(P)、(Q)、(R)三点在平面(ABC)与平面(\alpha)的交线上，即点(P)、点(Q)、点(R)三点共线。
同学们，在本题的解决过程中，我们将图形语言和符号语言按需进行相应转化，分析条件，根据公理推导出所要证明的结论。在用综合法解题过程中，同学们要注意由因导果的思维特点。
下面来看例(2)。在三角形(ABC)中，设(\overrightarrow{CB}=\vec{a})，(\overrightarrow{CA}=\vec{b})，求证三角形(ABC)的面积(S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} - (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}})。同学们考虑一下本题该如何作答。
我们一起来分析这道题目。本题涉及到的知识点有平面向量的模、向量的数量积、三角形的面积公式，这就涉及到解三角形的问题。解答的路线图是怎样的呢？本题条件相对简单，结论相对复杂。要证明的结论等式右边有一个根号，为了解决这个题目，我们尝试把根号去掉，对它进行两边平方，得到三角形(ABC)面积的平方(S^{2} = \frac{1}{4}(|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} - (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}))，记为①式。同学们，如果证明了①式成立，也就说明结论成立。
①式左边是三角形(ABC)的面积，我们需要把面积转化，用相应的边和角来表示。那么选择哪一个面积公式呢？我们可以选择(S = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin C)，将此内容代入①式进行化简，同学们可以在下面尝试一下。
下面看具体的证明过程。证明：三角形(ABC)的面积(S = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin C)，两边平方得到(S^{2} = \frac{1}{4}|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}\sin^{2}C)。到这一步，下一步该如何化简呢？结合要求证的等式，我们观察到等式中有(\vec{a})与(\vec{b})的数量积，而数量积中涉及到角(C)的余弦值(\cos C)，所以在此我们将角(C)的正弦(\sin C)转化为余弦(\cos C)。利用同角的平方和关系(\sin^{2}C + \cos^{2}C = 1)，此式就等于(\frac{1}{4}|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}(1 - \cos^{2}C))。