师：同学们大家好，今天我们来学习综合法与分析法第二课时。下面我们先来看一下今天的学习目标。第一，了解分析法，能用分析法解决一些数学问题；第二，结合实例的分析、归纳和总结，了解分析法的思维过程和特点；第三，通过实际演练，了解综合法和分析法之间的区别和联系；第四，通过本节学习，养成言之有理、论证有据的习惯。
下面我们先来复习一下上节课所学的内容。上节课我们学习了综合法，综合法又称为顺推证法，是一种由因导果的证明方法。上节课还给大家留了一个问题：在例2的解决过程中，从结论入手进行分析，这个分析过程能否写成证明的形式？如果可以，该如何书写？今天这节课我们就来解决这个问题。下面请同学们先看今天的引例证明。
已知(a\gt0)，(b\gt0)，求证(\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab})。此题若用综合法证明不太容易，我们从要证明的结论入手。证明如下：要证(\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab})，只需证(a + b \geq 2\sqrt{ab})。把不等式右端的(2\sqrt{ab})移到不等式左端，则只需证(a + b - 2\sqrt{ab} \geq 0)。因为(a\gt0)，(b\gt0)，可把(a)和(b)分别写成((\sqrt{a})^2)，((\sqrt{b})^2)，那么只需证的不等式就转化为((\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{ab} \geq 0)。不难发现，上式只需证((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0)即可。因为((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0)显然成立，所以(\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab})成立。
上述这种证明方法就是今天要给大家介绍的分析法。下面我们一起来看一下分析法的概念。一般地，分析法是指从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件，这个明显成立的条件可以是已知条件、定义、公理、公式等。这种证明方法又称为逆推证法。类似综合法，如果用(q)来表示所要证明的结论，分析法的框图可以表示为：若结论(q)成立，只需(P_1)成立；若(P_1)成立，只需(P_2)成立；若(P_2)成立，只需(P_3)成立，以此类推，最终得到一个明显成立的条件。可以看出分析法是一种执果索因的证明方法。
下面同学们，我们一起来看今天的例题。例1，求证(\sqrt{3} + \sqrt{7} \lt 2\sqrt{5})。大家考虑一下能否用综合法来证明呢？此题用综合法证明不太容易，下面我们用分析法来进行证明。因为(\sqrt{3} + \sqrt{7})和(2\sqrt{5})都是正数，所以要证(\sqrt{3} + \sqrt{7} \lt 2\sqrt{5})，只需证((\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 \lt (2\sqrt{5})^2)。将平方展开，只需证(10 + 2\sqrt{21} \lt 20)。将此式化简，只需证(\sqrt{21} \lt 5)，只需证(21 \lt 25)。因为(21 \lt 25)显然成立，所以(\sqrt{3} + \sqrt{7} \lt 2\sqrt{5})成立。
同学们，根据此题，你能说说分析法的证明步骤吗？下面我们根据刚刚的解答一起来分析一下。要证明结论，我们只需要证明结论成立的一个充分条件，下一步再证明刚刚式子的一个充分条件，以此类推，最终得到一个显然成立的条件，这里就是(21 \lt 25)，从而得到结论成立。下面我们来看分析法的证明步骤：要证结论(q)成立，只需证(P_1)成立，只需证(P_2)成立，只需证(P_3)成立，以此类推，最终得到(P_n)显然成立，所以结论成立。同学们，在用分析法解决数学问题的时候，请一定要按照上述步骤规范答题。
下面我们来看例2。如图，直线(SA)垂直平面(ABC)，直线(AB)垂直(BC)，过点(A)作(SB)的垂线，垂足为(E)，过(E)作(SC)的垂线，垂足为(F)。求证(AF)垂直(SC)。本题直接证明较为困难，下面我们用分析法来证明。证明如下：要证(AF)垂直(SC)，结合(EF)垂直(SC)，我们只需证明(SC)垂直平面(AEF)。由线面垂直的判定定理可知，要证明线面垂直，需要在此平面内找两条相交直线与(SC)垂直。因为(EF)已和(SC)垂直，所以要证明(SC)与平面(AEF)垂直，只需证(AE)垂直直线(SC)。结合(AE)已经垂直直线(SB)，由(AE)垂直(SB)和需证的(AE)垂直(SC)，我们发现只需证(AE)垂直平面(SBC)。又因为(AE)已垂直线(SB)，要证(AE)垂直平面(SBC)，只需证(AE)垂直直线(BC)。由(AB)垂直(BC)，结合需证明的(AE)垂直(BC)，那么下一步我们只需证明什么呢？结合(BC)垂直(AE)、(BC)垂直(AB)，所以在此只需证(BC)垂直平面(SAB)。由于(AB)已垂直(BC)，所以要证明(BC)垂直平面(SAB)，我们需在(SAB)这个平面中再找一条直线，只需证(BC)垂直(SA)。要证明(BC)垂直(SA)，我们只需证(SA)垂直平面(ABC)。由于(SA)垂直平面(ABC)为已知条件，所以本题得证，即直线(AF)垂直直线(SC)成立。
同学们，大家看一看本题是否还有其他的证明方法呢？实际上把刚才的证明过程逆推，就是我们前面所学的综合法。同学们，在本题的解决过程中，我们将图形语言和符号语言按要求进行了相应的转换。同学们在以后的数学学习中也要恰当处理好文字语言、图形语言、符号语言这三种语言的关系，并按相应的要求做好相应的转化。
通过前面的学习，请大家对综合法和分析法进行比较，说说它们的特点。这是综合法的框图，这是分析法的框图。我们知道综合法是从已知看可知，逐步推向未知；分析法是从未知看须知，逐步接近已知。所以综合法是一种顺推证法，分析法是一种逆推证法。综合法由因导果，分析法执果索因。同学们要注意两种方法之间的异同。
下面我们来看今天要学的例3。已知(\alpha)，(\beta \neq k\pi + \frac{\pi}{2})，(k \in Z)，且(\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\alpha)，(\sin\theta \cdot \cos\theta = \sin^2\beta)。求证(\frac{1 - \tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = 2\frac{1 - \tan^2\beta}{1 + \tan^2\beta})。