师：大家好，很高兴我们又见面了。今天我们来学习复数的几何意义。什么是复数的几何意义呢？首先，我们回顾一下实数的几何意义。在几何上，我们用什么来表示实数呢？
生：可以利用数轴。
师：对，任意一个实数a都可以在数轴上表示出来，这样就实现了数与形的一一对应。类比实数的表示，复数又该如何表示呢？首先，我们一起回忆一下复数的代数形式。复数通常记为z = a + bi ，其中a ∈ R ，b ∈ R 。我们称a是它的实部，b是它的虚部。那么，想要确定一个复数，可以由什么唯一决定呢？比如，我告诉大家一个复数，它的实部是1，虚部是2，那么你能写出这个复数吗？
生：z = 1 + 2i 。
师：非常好。再比如，一个复数，它的实部是 - 1，虚部是 - 2 ，那么这个复数该怎么表示呢？
生：z = - 1 - 2i 。
师：通过刚才这两个例子，大家发现了什么？
生：当确定了一个复数的实部和虚部这两个实数时，这个复数也就被确定了。
师：没错。因此，想要确定一个复数，我们可以由实部a和虚部b来决定，并且可以把它们表示成有序数对(a, b)的形式。看到有序实数对，不难发现，一个有序数对可以确定平面直角坐标系中的一个点。因此，我们就可以利用平面直角坐标系中的点来表示相应的复数。我们建立平面直角坐标系，以实部a为横坐标，以虚部b为纵坐标作出点Z ，那么点Z就可以表示出相应的复数，这样也就实现了数与形的一一对应。我们把建立的用来表示复数的平面，称之为复平面，简称复面。并且我们称x轴为实轴，y轴为虚轴，这就是我们今天给大家介绍的复数的第一种几何意义：复数z = a + bi ，与复平面内的点Z(a, b)一一对应。那么，我们继续看复平面。既然我们可以利用复平面内的点来表示相应的复数z ，那么在复平面上，数轴上的点、虚轴上的点、各象限内的点分别表示什么样的数呢？请同学们思考一下。
首先，我们来看数轴上的点。数轴上的点都可以表示成(a, 0)，因此它所对应的复数z = a + 0i ，也就是等于a ，所以数轴上的点表示实数。虚轴上的任意一个点都可以表示成(0, b)，因此它所对应的复数是z = 0 + bi ，这些点表示的都是纯虚数吗？
生：虚轴上的点除原点外都表示纯虚数。
师：为什么原点除外呢？
生：因为原点的坐标是(0, 0)，它所对应的是实数0 。
师：非常好。那么其他各象限内的点表示实部和虚部都不为0的虚数。同学们，你们分清楚了吗？下面请口答在复平面上，下列各点对应哪个复数。原点(0, 0)表示什么复数？
生：0 + 0i ，也就是实数0 。
师：数轴上的点(2, 0)表示什么复数？
生：2 + 0i ，是实数2 。
师：虚轴上的点(0, - 1)对应的复数应该是什么？
生：0 + (- 1)i ，即纯虚数 - i 。
师：点(- 2, 3)表示什么复数？
生： - 2 + 3i 。
师：同学们都答对了吗？反之，已知复数，会写出相应点的坐标吗？请同学们自己写两个看看。
相信同学们都已经写出来了。我们继续看。例一，已知复数z = m2 + m - 6 + (m2 + m - 2)i在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。请同学们在稿纸上自己计算一下。
同学们，算好了吗？我们一起来看。如果复数z对应的点在第二象限，那么就要求横坐标小于0，纵坐标大于0 。那么我们一起来看一看复数z对应的点的坐标是什么呢？由复数z的形式可知，它对应的点横坐标就是实部m2 + m - 6 ，纵坐标就是虚部m2 + m - 2 。因此，我们可以得到这样一个不等式组：
[
\begin{cases}
m2 + m - 6 < 0 \
m2 + m - 2 > 0
\end{cases}
]
分别解出这两个不等式。第一个不等式解得 - 3 < m < 2 ，第二个不等式解出m < - 2或m > 1 。最终我们取这两个解集的交集，所以m ∈ (- 3, - 2) ∪ (1, 2) 。我们在解决类似于例一这样关于复数的点所在象限的问题时，一般都是通过转化，求出满足复数z的实部和虚部所满足的不等式，这体现了将几何问题转化为代数问题的思想，也就是数形结合的思想。类似的，再请看例一的变式。已知复数z还是这样的一个复数，在复平面上对应的点在直线x - 2y + 4 = 0上，求m的取值范围。
同学们，我们还是首先将复数z所对应的点坐标找出来，复数z所对应的点的坐标实部是横坐标，虚部是纵坐标。如果这个点在直线x - 2y + 4 = 0上，那么相应的点的坐标就应该满足直线的方程。因此，这道题先写出复数z对应的点Z的坐标是(m2 + m - 6, m2 + m - 2)，因为它在直线x - 2y + 4 = 0上，所以将点的坐标代入直线方程，得到关于m的一元二次方程，解这个方程可得m = - 2或m = 1 。
同学们，你做出正确答案了吗？下面我们继续看刚才我们所建立的复平面，我们说在复平面上任意一个点Z都可以唯一对应出一个复数z 。那么，如果我们以O点为起点，以点Z为终点，就可以做出一个平面向量$\overrightarrow{OZ}$。因此，复数z = a + bi ，我们又可以用平面向量$\overrightarrow{OZ}$来表示，这就是我们讲的复数的第二种几何意义：复数z = a + bi与平面向量$\overrightarrow{OZ}$一一对应。
那么在这里，为了方便起见，常把复数z = a + bi说成点Z或说成向量$\overrightarrow{OZ}$，并且规定相等的向量表示同一个复数。在向量中，向量$\overrightarrow{OZ}$的模r叫做复数z = a + bi的模，记作|z|或|a + bi|，这就是复数模的定义。那么复数的模怎么求呢？|z| = r = |$\overrightarrow{OZ}$| = $\sqrt{a2 + b2}$。特别地，如果b = 0时，复数z = a + bi是一个实数，它的模就等于|a|，也就是a的绝对值。在向量中，向量的模表示它的长度，那么复数的模又表示什么呢？
生：复数z = a + bi的模r就是复数z = a + bi在复平面上对应的点Z(a, b)到原点的距离。
师：非常好。那么我们接下来计算下列复数的模。z? = - 5i ，z? = - 3 + 4i ，z? = 5 - 5i ，请同学们快速计算一下。
同学们，做好了吗？这里|z?| = 5 ，|z?| = 5 ，|z?| = $5\sqrt{2}$。同学们，通过刚才的这道例题，你能回答复数的模能比较大小吗？
生：能，因为复数z的模是等于$\sqrt{a2 + b2}$，a、b都是实数，所以复数的模还是一个实数，能比较大小。
师：很好。满足|z| = 5，z ∈ R的点Z在复平面上形成怎样的图形呢？
生：这里z ∈ R说明z是实数，那么这个模就是z的绝对值，一个实数的绝对值等于5，说明这个实数是±5 ，这样两个实数在复平面上对应的应该是实轴上的两个点，坐标分别是(5, 0)和(- 5, 0) 。
师：非常正确。满足|z| = 5，z ∈ C ，z对应的点在复平面上构成怎样的图形呢？
生：设z = x + yi ，x, y ∈ R 。因为|z| = 5 ，由模的计算公式可得$\sqrt{x2 + y2}$ = 5 ，两边同时平方得到x2 + y2 = 25 ，表示以原点为圆心，半径为5的圆。
师：非常好。类似的，我们再看一道变式。若复数z满足|z|2 - 2|z| - 3 = 0 ，则复数z对应的点Z的轨迹是像哪个选项？思考一下。
生：对|z|2 - 2|z| - 3 = 0左边因式分解，得到(|z| + 1)(|z| - 3) = 0 。因为|z| + 1 > 0 ，所以|z| - 3 = 0 ，即|z| = 3 。由复数模的几何意义，它表示复数z对应的点到原点的距离等于3 ，所以z的轨迹是一个圆，应选择b选项。
师：同学们，我们一起对本节课的内容做个小结吧。本节课我们重点给大家介绍了复数的两种几何意义：复数z = a + bi与复平面内的点Z(a, b)一一对应，还可以与平面向量$\overrightarrow{OZ}$一一对应。并且我们还给大家介绍了复数模的求法以及模的几何意义，表示相应的点Z到原点的距离。
今天的课后作业：一、已知复数z = a + 3 + (2a - 4)i在复平面内所对应的点在：1. 第一象限；2. 虚轴上；3. 直线4x - 3y + 5 = 0上，求相应的实数a的值。二、完成课本第55页习题3.1 A组第四、五两题。同学们，今天的课就上到这里了，再见。