师：同学们大家好，今天由我继续带领大家学习选修2 - 2第三章第一节的内容。我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数难入微。”由此可见，数与形密不可分。今天我们将运用数形结合这一重要数学思想方法展开研究。请同学们回顾以往所学知识，思考问题：实数的几何意义是什么？
生：（思考、讨论）
师：我们知道，实数可以用数轴上的点来表示，实数与数轴上的点是一一对应关系。因为这种一一对应，每一个实数都能在数轴上找到对应的点，这就是实数的几何意义。接着回顾上节课内容，请同学们思考，复数的代数形式是怎样的？
生：复数z = a + bi（a，b为实数），a称为实部，b称为虚部。
师：非常好。由复数的代数形式，结合上节课内容，请大家回答，一个复数是由什么决定的？
生：一个复数由它的实部、虚部共同确定，实部、虚部可确定一个有序实数对（a，b）。
师：没错。我们发现复数z = a + bi与有序实数对（a，b）之间能建立起一一对应关系。那么请同学们类比实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，复数的几何意义是什么呢？这就是本节课我们要重点学习的内容。通过前面分析，我们知道复数与有序实数对可建立一一对应关系，而有序实数对又能在平面直角坐标系中找到一一对应的点Z（a，b）。综合这两个特征，我们发现复数z = a + bi可与平面直角坐标系上的点Z（a，b）建立起一一对应关系。我们以复数的实部为横坐标，虚部为纵坐标，建立的这个平面，这种复数的几何表示是1797年由挪威测量学家韦塞尔提出，随后瑞士数学家阿甘德进行论证，并得到高斯认同，所以这种几何表示也称为阿甘德图，而建立了平面直角坐标系表示复数的平面，我们称为复平面。这里x轴称为实轴，y轴称为虚轴。根据所学内容，请同学们思考，在复平面上，实轴上的点、虚轴上的点以及各象限内的点分别表示怎样的复数呢？大家可以先将对应的点与有序实数对进行对应，再由有序实数对找到其对应的复数。
生：（思考、讨论、回答）实轴上的点，纵坐标为0，对应的复数虚部为0，表示实数；虚轴上除原点外的点，实部为0，虚部不为0，表示纯虚数。
师：那虚轴上特殊的原点表示什么数呢？
生：表示实数0。
师：很好。其他各象限内的点表示实部、虚部均不为0的虚数。通过分析探究，我们发现复数z = a + bi（a，b∈R），可在复平面上与点Z（a，b）建立一一对应关系，这就是复数的一种几何意义。请同学们利用这个几何意义回答以下4个小问：在复平面上，下列各点对应哪个复数？原点（0，0）表示什么？实轴上的点（2，0）表示什么？虚轴上的点（0， - 1）对应什么复数？点（ - 2，3）对应什么复数？
生：原点（0，0）表示实数0；实轴上的点（2，0）表示实数2；虚轴上的点（0， - 1）对应复数 - i；点（ - 2，3）对应复数 - 2 + 3i。
师：非常正确。我们知道有序实数对除了表示平面直角坐标上的点，还有其他表示方法。例如在图中，有序实数对（a，b）还可表示平面向量，即图中的$\overrightarrow{OZ}$。有序实数对可与平面向量$\overrightarrow{OZ}$建立一一对应关系，而每个复数由有序实数对（a，b）确定，由此发现复数z = a + bi可与平面向量$\overrightarrow{OZ}$之间建立一一对应关系。从这种关系出发，我们发现复数可以用一个向量来表示，对于复数z = a + bi，它可与平面向量$\overrightarrow{OZ}$建立一一对应关系。这里要注意，实数0对应的是$\overrightarrow{0}$向量，这就是复数的另一种几何意义。结合复数的两种几何意义，我们发现复数z = a + bi与复平面上的点Z和平面向量$\overrightarrow{OZ}$三者之间均是一一对应关系，这种对应关系借助有序实数对（a，b）建立，三者关系可通过图观察。为方便起见，常把复数z = a + bi说成点Z或说成向量$\overrightarrow{OZ}$，并且规定相等的向量表示同一个复数。三者有区别，主要是表达形式不同。z = a + bi从数的角度刻画复数，称为复数的代数形式；点Z（a，b）和平面向量$\overrightarrow{OZ}$从形的角度刻画复数，其中点Z（a，b）称为复数的几何形式，平面向量$\overrightarrow{OZ}$称为复数的向量形式。同学们要清楚复数这三种表达形式的联系和区别。我们知道平面向量有大小、有方向，其大小用向量的模刻画。既然复数可与平面向量建立一一对应关系，能否类比向量模的概念，对复数的模进行定义呢？接下来看复数模的概念。向量$\overrightarrow{OZ}$的模r叫做复数z = a + bi的模，记作|z|或|a + bi|。这里沿用了复数模的符号，所以|z| = r = |$\overrightarrow{OZ}$|。我们可运用平面向量模的计算方式得到复数模的计算公式，即$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$。当复数的虚部b为0时，复数就是实数a。利用所得模的计算公式，此时复数z的模就是实数a的绝对值。我们知道实数的绝对值有几何意义，是该数在数轴上对应点到原点的距离。那么类比实数绝对值的几何意义，复数的模的几何意义是什么呢？
生：复数z = a + bi的模r就是复数z = a + bi在复平面上对应的点Z到原点的距离。
师：非常好。我们借助有序实数对在复数z、复平面上的点Z以及平面向量$\overrightarrow{OZ}$三者之间建立了对应关系，通过类比向量模的运算方法得到了复数模的计算公式，又通过复数中特殊的实数a的模得到了复数模的几何意义。接下来通过一系列例题巩固今天的学习成果。请同学们判断以下相关概念：a. 在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；b. 在复平面上，对应于纯虚数的点都在虚轴上；c. 在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；d. 在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。