师：同学们好，今天我们来学习高中数学选修4 - 5第一讲第一节第三个部分。在学习新课之前，我先带领同学们回顾一下上节课所学的两个重要定理。
定理一：如果(a,b\in R)，那么(a^{2}+b^{2}\geq2ab)，当且仅当(a = b)时，等号成立。这个定理适用范围是(a,b)属于实数集(R)，等号成立条件是(a = b)。
定理二：如果(a,b\gt0)，那么(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab})，当且仅当(a = b)时，等号成立。定理二适用范围是(a,b)属于正实数集，等号成立条件同样是(a = b)。定理二的语言表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
这两个定理在数学中应用广泛，我们把这两个不等式叫做基本不等式。由于定理二反映了两个正数算术平均数与几何平均数的关系，所以也叫均值不等式。
接下来请同学们思考，基本不等式给出了两个正数算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？比如对三个正数会有怎样的不等关系？
我们可以类比两个正数的均值不等式进行猜想：如果(a,b,c\gt0)，那么(\frac{a + b + c}{3}\geq\sqrt[3]{abc})，当且仅当(a = b = c)时，等号成立。针对这个猜想结论，我们需要进一步推理证明。
类比基本不等式推导过程，由(a^{2}+b^{2}\geq2ab)，将(a)和(b)分别替换成(\sqrt{a})与(\sqrt{b})得出定理二。现在我们仿照这种方法，先证明一个引理。
已知(a,b,c\gt0)，求证(a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq3abc)，并探讨等号成立条件。证明不等式常用比较法，我们对(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)进行变形，配凑出((a + b)^{3})的形式，即(a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3})，这里用到完全立方和公式((x + y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y + 3xy^{2}+y^{3})。
((a + b)^{3}+c^{3})再利用立方和公式(x^{3}+y^{3}=(x + y)(x^{2}-xy + y^{2}))进一步化简，提取公因式(a + b + c)后，括号里配凑出((a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(a - c)^{2})。
因为(a,b,c)都是正数，所以(a + b + c\gt0)，而((a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(a - c)^{2}\geq0)，所以(a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq3abc)。当((a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(a - c)^{2}=0)，即(a = b = c)时，等号成立。
得出这个不等式后，将其中的(a,b,c)分别替换为(\sqrt[3]{a},\sqrt[3]{b},\sqrt[3]{c})，就得到(\frac{a + b + c}{3}\geq\sqrt[3]{abc})，当且仅当(a = b = c)时，等号成立。这就是本节课学习的定理三，表述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
基本不等式还能进一步推广到一般情形：对于(n)个正数(A_{1},A_{2},A_{3},\cdots,A_{n})，它们的算术平均值不小于几何平均值，用数学符号表示为(\frac{A_{1}+A_{2}+A_{3}+\cdots +A_{n}}{n}\geq\sqrt[n]{A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n}})，当且仅当(A_{1}=A_{2}=A_{3}=\cdots =A_{n})时取等号。
下面我们来看例题。
例一：已知(x,y,z\in R^{+})，求证((x + y + z)^{3}\geq27xyz)。观察要证明的不等式，变量个数是(3)个，次数是(3)次，可利用定理三。由定理三(\frac{x + y + z}{3}\geq\sqrt[3]{xyz})，两边同时三次方，再两边同时乘以(27)，不等式依然成立，从而证明该结论。
例二：设(x,y,z)都是正数。
问题一：若(xyz = s)为定值，求(x + y + z)的最小值。因为(x,y,z)均为正数且积为定值(s)，由定理三(x + y + z\geq3\sqrt[3]{xyz}=3\sqrt[3]{s})，当且仅当(x = y = z=\sqrt[3]{s})时等号成立，所以(x + y + z)的最小值为(3\sqrt[3]{s})。