师：各位同学，大家好！今天我们一起来学习高中数学人民教育出版社A版选修4 - 5第一讲第一节不等式的基本性质。在学习新知识前，我们先来回答几个问题。
第一个问题，在现实生活中有哪些用来描述客观事物在数量上不等关系的词语？请举例，比如多与少、高与矮、轻与重、长与短、大与小等等。
第二个问题，在以前的学习中，我们对不等式有哪些认识？不等式是指用不等号连接的式子，不等号有小于号、大于号、不等号等。我们还学习过不等关系运算、解不等式以及比较数式的大小等内容。
第三个问题，任意实数(A)、(B)的大小关系有几种？我们知道两个实数是可以比较大小的，对于两个实数(A)、(B)，(A)大于(B)、(A)等于(B)、(A)小于(B)这三种关系有且仅有一个成立。
第四个问题，实数大小的数形特征是怎样的？大家知道实数与数轴上的点是一一对应关系，而且数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数，所以可以用数轴来比较两个实数的大小。为了摆脱完全依赖数轴上点的位置来判断实数大小，我们来看实数大小的比较可以借助实数运算的基本事实。
我们来看这三个基本事实：(A)大于(B)等价于(A - B)大于(0)；(A)等于(B)等价于(A - B)等于(0)；(A)小于(B)等价于(A - B)小于(0)。这个符号是等价符号，即可以互相推出，最终的结果都是与(0)比较，所以(0)是比较两个实数大小的标杆。
这三个基本事实就把个别的不同的实数大小比较问题转化为统一的与实数(0)的大小比较问题。所以我们可以得出结论，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以。下面我们来看一个具体的比较大小的问题。
比较((x + 3)(x + 7))和((x + 4)(x + 6))的大小。根据刚才学习的基本事实，要比较这两个式子的大小，只要比较它们的差与(0)的大小就可以。
解：因为((x + 3)(x + 7) - (x + 4)(x + 6))
(= x^2 + 10x + 21 - (x^2 + 10x + 24))
(= -3)小于(0)，所以((x + 3)(x + 7))小于((x + 4)(x + 6))。
哪位同学能够概括一下用做差比较两个数或式子大小的一般步骤呢？很明显，从例一可看出第一步做差，第二步变形，第三步定号，最后下结论，遵循这样一个步骤。
好，下面我们来探究不等式的基本性质。在学习基本性质以前，我们来回顾一下对于等式和实数的运算有关问题。对实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方。对于等式，它的等量关系的基本结论有以下6条，我们逐条来看。
一、如果(A = B)，那么(B = A)，这是等量关系的对称性。
二、如果(A = B)，(B = C)，那么(A = C)，这是等量关系的传递性。
三、如果(A = B)，那么(A + C = B + C)，这是等量关系的可加性。
四、如果(A = B)，那么(A×C = B×C)，这是等式的可乘性。
五、如果(A = B\gt0)，那么(A^n = B^n)，(n)属于自然数集，这是等式的乘方运算。
六、如果(A = B\gt0)，那么(\sqrt[n]{A} = \sqrt[n]{B})，这里(n)属于大于等于(2)的自然数集，这是等式的开方运算。
那么我们能不能根据类比的思想得出不等式是否有这样一些性质的结论，也就是说不等关系有没有类似的结论？如果有，你能类比得出吗？好，我们有两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质，下面我们就一起来看一看。
一、如果(A\gt B)，那么(B\lt A)；如果(B\gt A)，那么(A\lt B)，即(A\gt B)等价于(B\lt A)，这是对称性。
二、如果(A\gt B)，(B\gt C)，那么(A\gt C)，这是传递性。
三、如果(A\gt B)，那么(A + C\gt B + C)，用符号表示它是可加性。
四、如果(A\gt B)，(C\gt0)，那么(A×C\gt B×C)，即(A\gt B)，(C\gt0)，可以推出(A×C\gt B×C)；如果(A\gt B)，(C\lt0)，那么(A×C\lt B×C)，这是可乘性。
五、如果(A\gt B\gt0)，那么(A^n\gt B^n)，这里的(n)属于大于等于(2)的自然数集，这是乘方法则。
六、如果(A\gt B\gt0)，那么(\sqrt[n]{A}\gt \sqrt[n]{B})，即(A\gt B\gt0)，推出(\sqrt[n]{A}\gt \sqrt[n]{B})，(n)属于大于等于(2)的自然数集。
大家能不能对这6个性质进行文字语言表述？以及对它进行证明呢？下面我们看问题7，你能用文字语言来表述性质3和性质4吗？
性质三，如果(A\gt B)，那么(A + C\gt B + C)。很明显，这是在不等式的两边加上了同一个实数，不等号的方向没有发生改变。所以我们可以这样表述：不等式的两边加上同一个实数，不等号的方向不变。
性质四，如果(A\gt B)，(C\gt0)，得出了(A×C\gt B×C)，这时不等式的两边同时乘以了一个正数，不等号方向没有改变。所以我们讲：不等式的两边乘以同一个正数，不等号的方向不变；如果(A\gt B)，(C\lt0)，那么(A×C\lt B×C)，即不等式的两边乘以同一个负数，不等号的方向改变。这是我们用不同的形式来表示性质，有符号语言、文字语言。
下面我们对其中的一些性质尝试证明一下。看看这样一个问题，证明不等式的性质4，也就是它的可乘性，它分两种情况。
如果(A\gt B)，(C\gt0)，那么(A×C\gt B×C)。因为(A×C - B×C = (A - B)×C)，因为(A\gt B)，所以(A - B\gt0)，由于(C\gt0)，所以((A - B)×C\gt0)，所以(AC\gt BC)。
因为(A×C - B×C = (A - B)×C)，因为(A\gt B)，所以(A - B\gt0)，由于(C\lt0)，则((A - B)×C\lt0)，所以(A×C\lt B×C)。
其实像性质1、2、3完全可以类比利用我们前面讲的基本事实来证明。对性质5、6，我们可以用幂函数的单调性(y = x^{\alpha})在(\alpha\gt0)时，它在第一象限单调递增这个性质来予以证明。大家课后自己完成。
思考一下下面两个问题。第一，观察不等式的基本性质1 - 6，并与等式的基本性质比较。你认为在研究不等式时需要特别注意什么问题？我们从刚才的性质可知，对于乘法、除法的符号对不等式是有影响的。所以我们需要特别注意的问题是符号问题，即在做乘法或者除法运算的时候，乘除号的符号会影响不等号的方向。
上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式的时候经常以它们为出发点。
下面我们来看思考二，判断下列结论是否正确。
一、如果(A\lt B)，(C\gt D)，那么(A + C\lt B + D)。我们知道像这类的判断题，要证明它是正确的，必须要有严格的证明和理论依据；要证明它是错误的，只要举出反例。像我们第一个问题，如果(A)取(-3)，(B)取(-2)，(C)取(5)，(D)取(2)的话，很明显(-3 + 5 = 2)，而(-2 + 2 = 0)，不成立，所以是错误的。
二、同样用举反例的方法。比如(A)取(3)，(B)取(2)，(3\gt2)，(C)取(5)，(D)取(4)，(5\gt4)，那么(3 - 5 = -2)，(2 - 4 = -2)，两边相等，不满足大于关系。当然同学们可以还举出其他的例子，只要证明它不正确即可。