师：同学们好，今天我们继续研究回归分析的基本思想及其初步应用。上节课我们了解到，若两个变量具有相关关系，可用最小二乘法求出回归方程，对日常生活进行预报。不过，预测值与真实值存在误差，所以我们建立了线性回归模型：(y = BX + a + e)，其中自变量(x)被称为解释变量，它只是解释了预报变量部分变化原因。
上节课留下一个问题：怎样让随机误差的绝对值更小，使预测值更接近真实值？今天我们就来探讨这个问题。实际应用中，随机误差(e)不可观测，那该如何研究呢？我们回到建立的线性回归模型，为研究随机误差(e)，将其分离出来，得到(e = y - (BX + a))。因为没人知道真实的(BX + a)，一般用最小二乘法中的(\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a})替代(BX + a)，此时随机误差也变成估计值，记为(\hat{e})，我们把(\hat{e})定义为残差。具体来说，对于样本点((x_i, y_i))，随机误差(e_i)的估计值(\hat{e}_i)，就是相应于点((x_i, y_i))的残差。要注意，残差本质是随机误差的估计值，计算时用真实值减去估计值。
回顾上节课，我们建立了女大学生身高和体重的回归方程(\hat{y} = 0.849x - 85.712)。根据残差定义，这(8)名女大学生体重的残差怎么求呢？残差等于真实值减去预测值，所以要先计算预测值。我们用Excel表格计算，比如第一位女生的估计体重，输入公式“( = 0.849 * [身高值] - 85.712)”，再利用下拉功能算出其他同学的估计体重。最后根据残差定义，用真实值减去估计值，同样下拉，就能得到所有同学的残差。
观察残差，能发现有些是正数，有些是负数。残差为正数，意味着真实值比预测值大；残差为负数，则表示真实值比预测值小。为更直观展示残差特征，我们以编号为横坐标（也可选身高或体重），残差为纵坐标，做出图形，称为残差图。观察残差图，这些点分布在(x)轴附近，总体落在一个带状区域里。显然，我们希望残差绝对值越小越好，实际应用时，这个带状区域越窄越好。
残差图有什么作用呢？观察数据会发现，第一个数据和第六个数据偏离程度稍大，因此有理由怀疑这两个数据可能存在人为错误。而且，带状区域越窄，误差越小，说明预测值与真实值越接近，所以可以通过残差图判断回归模型的拟合效果。
统计学中，统计学家构造了一个重要的相关指数，记作(R^2)，其计算公式为：后面分式的分子是((y_i - \hat{y}_i))，这就是刚刚介绍的残差，所以分子称为残差平方和。分母在样本点选定的情况下，(y_i)和(\overline{y})都是定值，分母是一个常数，称为总偏差平方和。刚才提到，残差绝对值越小，拟合精确度越高。从公式看，分子越小，(R^2)的值越大，拟合精度越高；反之，(R^2)越小，拟合效果越差。若每个数据的残差刚好为(0)，后面分式等于(0)，此时(R^2 = 1)，相当于所有点都刚好落在回归直线上。实际上，(R^2)取值范围在(0)到(1)之间，称(R^2)表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，(R^2)越接近(1)，回归效果越好。
残差图从“形”的角度大致判断回归方程拟合效果，相关指数则从“数”的角度更直接反映拟合效果，这体现了数学中的数形结合思想。下面运用相关指数公式，计算刚才问题的相关指数。先算出分母，下拉得出结果并求和；再算分子，求和；最后(1 -)（分子和(\div)分母和），算出来约等于(0.64)。这个(0.64)可理解为解释变量对于预报变量的贡献率，即女大学生的体重有(64%)的因素由身高决定，或者说女大学生的身高解释了(64%)的体重，这就是相关指数。