师：同学们好，今天我们继续学习复数代数形式的四则运算。首先复习一下复数加法与减法的运算法则。已知两个复数(Z_1 = a + bi)，(Z_2 = c + di)，加法法则为(Z_1 + Z_2 = (a + c) + (b + d)i)，减法法则为(Z_1 - Z_2 = (a - c) + (b - d)i)。由此可知，两个复数相加减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加减。
除了加减运算，类比实数，对于复数我们同样可以引入乘除运算。那么复数乘除运算的规则是怎样的呢？我们先来看复数的乘法法则。规定假设(Z_1 = a + bi)，(Z_2 = c + di)是任意两个复数，那么它们的积(Z_1×Z_2 = (a + bi)×(c + di) = ac + bci + adi + bdi2)。然后把实部和虚部分别合并，就得到((ac - bd) + (ad + bc)i)。
同学们思考一下，能描述乘法的运算法则吗？事实上，两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把(i2)换成(-1)，并且把实部和虚部分别合并即可。显然，两个复数的积也是一个确定的复数。
下面请同学们思考，复数的乘法是否满足交换律、结合律，是否满足乘法对加法的分配律？我们来探究一下。假设复数(Z_1 = a + bi)，复数(Z_2 = c + di)，根据复数乘法法则，(Z_1×Z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i)。同理，(Z_2×Z_1)化简后，实部同样是(ac - bd)，虚部也是(ad + bc)。所以(Z_1×Z_2 = Z_2×Z_1)，这说明复数的乘法满足交换律。
同理可证，复数的乘法也满足结合律，同样满足乘法对加法的分配律。由此可得，对任意复数(Z_1)、(Z_2)、(Z_3)，满足乘法交换律，即(Z_1×Z_2 = Z_2×Z_1)；满足乘法结合律，即((Z_1×Z_2)×Z_3 = Z_1×(Z_2×Z_3))；也满足乘法对加法的分配律，即(Z_1×(Z_2 + Z_3) = Z_1×Z_2 + Z_1×Z_3)。
下面请同学们根据乘法法则和运算律来解决例一：计算复数((1 - 2i)×(3 + 4i)×(-2 + i))。
根据复数乘法法则，先计算前两个复数相乘：
[
\begin{align*}
&(1 - 2i)×(3 + 4i)\
=&3 + 4i - 6i - 8i2\
=&3 - 2i - 8×(-1)\
=&11 - 2i
\end{align*}
]
再乘以第三个复数(-2 + i)：
[
\begin{align*}
&(11 - 2i)×(-2 + i)\
=& -22 + 11i + 4i - 2i2\
=& -22 + 15i - 2×(-1)\
=& -20 + 15i
\end{align*}
]
接着看例二：计算第一小问((3 + 4i)×(3 - 4i))，第二小问((1 + i)2)。
同样根据复数乘法法则，第一小问：
[
\begin{align*}
&(3 + 4i)×(3 - 4i)\
=&9 - 12i + 12i - 16i2\
=&9 - 16×(-1)\
=&25
\end{align*}
]
第二小问：
[
\begin{align*}
&(1 + i)2\
=&(1 + i)×(1 + i)\
=&1 + 2i + i2\
=&1 + 2i - 1\
=&2i
\end{align*}
]
对于这两个小题，同学们还可以根据实数当中的乘法公式来解决。第一小题((3 + 4i)×(3 - 4i))，使用平方差公式(32 - (4i)2 = 9 - 16×(-1) = 25)。第二小题((1 + i)2)，根据完全平方公式(12 + 2i + i2 = 1 + 2i - 1 = 2i)。由此可见，实数集中的完全平方公式、平方差等乘法公式在复数集中仍然适用。
同学们再观察一下例二第一小问当中的两个复数(3 + 4i)和(3 - 4i)，发现它们的实部相等，虚部互为相反数，我们把这样的两个复数称为共轭复数。
什么是共轭复数呢？下面给出共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。对于共轭复数，我们给出几点说明：复数(z = a + bi)的共轭复数，一般记作(\overline{z})，即(\overline{z} = a - bi)。当虚部不等于(0)的两个共轭复数，我们把它叫做共轭虚数。如果一个复数的共轭复数是它本身，说明它的虚部等于(0)，所以这个复数此时就是一个实数。反之，如果一个数是实数，那么它的共轭复数就是它本身。所以我们得到(\overline{z} = z)等价于(z)是一个实数。
请同学们思考下面的问题：如果(z = a + bi)，(\overline{z} = a - bi)是一对共轭复数，第一，在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？第二，(z×\overline{z})是一个怎样的数？
我们知道(z)与(\overline{z})实部相等，虚部互为相反数，所以它们在复平面内所对应的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，所以点(z)和点(\overline{z})关于实轴对称。
第二，(z×\overline{z})，直接利用平方差公式可得(a2 + b2)。由此我们可以得到结论：互为共轭复数的两个复数所对应的点关于实轴对称，(z×\overline{z} = a2 + b2 = |z|2 = |\overline{z}|2)，它是一个实数。
好，以上我们探究了复数乘法的法则，那么复数的除法法则是怎样的呢？类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法也是乘法的逆运算。下面我们来探究一下复数除法的法则。
满足((c + di)×(x + yi) = a + bi)的复数(x + yi)叫做复数(a + bi)除以复数(c + di)的商，记作(\frac{a + bi}{c + di})或((a + bi)÷(c + di))。请同学们思考一下如何来求解这里面的(x)和(y)。