师：同学们好，今天这节课我们要学习导数的概念，这是高中数学非常重要的知识点。下面先简要回顾上节课的基本知识。上节课讲到函数的变化率问题，我们先来看看函数的平均变化率。什么是函数的平均变化率呢？它常记为Δy/Δx，也就是函数值的增量比上自变量的增量。其中，Δy = f(x?) - f(x?)，Δx = x? - x? ，分别表示两个增量。一般来讲，我们把这个式子称为函数 f(x)从 x? 到 x? 的平均变化率，这是从代数角度解释。从图形上看，给定函数 y = f(x)的图像，取两点 A(x?, f(x?))和 B(x?, f(x?))，平均变化率中的Δy 和 Δx 分别表示两条相应的线段，此时Δy/Δx 表示直线 AB 的斜率。这样我们就从数和形两个方面解释了函数的平均变化率。
函数的平均变化率能解释很多日常生活现象，比如高铁的平均时速、经济的平均增长率等。但平均变化率能否解释所有变化问题呢？我们来看几个例子。
第一张图片是子弹出膛画面，在枪支制造中，子弹出膛那一刻的速度，即出膛速度，是衡量枪支性能的重要指标，我们需要计算这一刻的速度大小。第二个例子是短跑比赛中运动员冲刺画面，在短跑运动研究中，冲线速度是重要依据，运动员冲线那一刻的速度也是我们常要计算的。第三个画面是航天工业中天宫号和神舟号飞船对接，对接那一刻的速度大小非常关键，必须精确。这三个问题都涉及计算运动物体在某一时刻的速度，显然某一时刻的速度无法用平均速度表达，因为平均速度只能近似、粗略地表达一段时间内物体的运动状态。要解决这些问题，就需要计算运动物体在具体某一时刻的速度大小，这就是本节课重点要解决的问题。其实在上节课高台跳水问题中，我们也简单涉及了相关内容。
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h 与时间 t 的关系式为 h(t) = - 4.9t2 + 6.5t + 10 。当时提到一个思考题，要求计算运动员在 0 到 65/49 这段时间内的平均速度。从表达式和图形上，都可以通过位移的增量Δx 比上时间的增量Δt 来计算，即[h(65/49) - h(0)]÷(65/49 - 0) 。结合图像，0 和 65/49 这两个端点关于抛物线对称轴对称，函数值相等，所以平均速度是 0 米每秒。但这个 0 米每秒并不能精确反映运动员的运动状态，因为在这段时间内运动员经历了上升到下降的过程，并非静止，所以研究某一时刻的运动状态更重要。
具体某一时刻的速度该怎么求解呢？我们还是以高台跳水运动为例，探究某一时刻的运动速度。一般把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，在很多实际问题中，瞬时速度都很重要。下面看高台跳水运动中，t = 2 这个时刻的瞬时速度能否求解。因为之前能解决平均速度，所以看看能否从平均速度出发来解决 t = 2 时刻的瞬时速度。
要算平均速度，就得考察 t = 2 附近的情况，取时刻 2 + Δt ，这里的Δt 表示时间改变量，也叫增量，它可正可负，但不能为 0 。若Δt ＜ 0 ，2 + Δt 比 2 小，表示 2 之前的时刻；若Δt ＞ 0 ，2 + Δt 比 2 大，表示 2 之后的时刻。
现在看Δt ＞ 0 的情况，在 2 到 2 + Δt 这段时间内的平均速度。先算出位移的增量Δh ，用Δh 除以Δt 来求解。Δh = h(2 + Δt) - h(2) ，时间增量为 2 + Δt - 2 = Δt 。把它代入 h(t)的表达式，可得位移增量是 - 4.9×(Δt)2 - 13.1×Δt ，位移增量除以时间增量Δt ，约掉一个Δt ，得到平均速度为 - 13.1 - 4.9Δt 。
若Δt ＜ 0 ，算的时间间隔就是 2 + Δt 到 2 ，算法相同，课后可算一下，结果与上述表达式相同。求出了一段时间内的平均速度，那它与 t = 2 时刻的瞬时速度有什么关系呢？我们对Δt 取不同值，看看平均速度与 t = 2 时刻瞬时速度的关联。
通过一个表格直观观察，以Δt ＞ 0 为例，对Δt 取一系列值代入平均速度表达式 - 4.9Δt - 13.1 ，算出平均速度的一系列取值。同样，对Δt ＜ 0 也取一系列值代入表达式求平均速度。做出表格后，观察表格中Δt 的取值变化情况。在Δt ＞ 0 和Δt ＜ 0 时，Δt 的绝对值越来越小，说明Δt 在趋近于 0 。从表格看，当Δt 趋近于 0 时，平均速度从 - 13.1 左右两侧不断趋近 - 13.1 。从表达式 - 13.1 - 4.9Δt 看，若Δt 趋近于 0 ， - 4.9Δt 也趋近于 0 ，整个平均速度就趋近于 - 13.1 。所以可以认为，当Δt 趋近于 0 时，无论 2 + Δt 从小于 2 还是大于 2 的一边趋近于 2 ，平均速度都趋近一个确定值 - 13.1 。
从物理角度看，时间间隔Δt 的绝对值越来越小，2 到 2 + Δt 这段时间内的平均速度就越来越接近 t = 2 时刻的瞬时速度。所以这个趋近的确定值就是 t = 2 时刻的瞬时速度，即 t = 2 时刻运动员的瞬时速度是 - 13.1 米每秒。
这个式子讨论起来麻烦，为表述方便，用极限符号来表达，读作“limit” 。式子可写成：lim(Δt→0) [h(2 + Δt) - h(2)]÷Δt = - 13.1 ，意思是当 t = 2 ，Δt 趋近于 0 时，平均速度趋近于确定值 - 13.1 。在数学里，通常把这个确定值 - 13.1 称为平均速度当Δt 趋近于 0 时的极限。这里极限概念以后高等数学会深入学习，现在了解基本概念即可，这就是瞬时速度的定义，粗略看瞬时速度是个极限值。
回顾瞬时速度求解的基本思想，是在局部以匀速代替变速，讨论 t = 2 时刻，用 2 到 2 + Δt 这段时间代替，以平均速度代替瞬时速度，通过取极限得到瞬时速度的准确值。这样就可以用这种方法求运动员在某一时刻的瞬时速度。刚才解决了 t = 2 时刻，t = 3 、t = 1 等其他时刻也可用类似方法处理，任意时刻 t 都能先求 t? 附近的平均速度，令Δt 趋近于 0 取极限值。