师：同学们，大家好！今天我们继续学习新内容，选修2 - 2的第10课：函数的最大值、最小值与导数。上节课我们学习了函数的极值与导数，大家还记得如何定义极值吗？怎样利用导数求函数的极值？步骤是什么？我们一起复习一下求函数极值的方法与步骤。
第一步，求函数(f(x))的定义域；第二步，求函数的导函数(f^\prime(x))；第三步，解方程(f^\prime(x)=0)；第四步，列表列出关于(x)、导函数(f^\prime(x))、函数(f(x))变化情况的表格；第五步，根据所列表格以及极值的定义，求得函数(y = f(x))的极大值和极小值。
今天这节课，我们继续学习怎样利用导数求函数的最大值和最小值。相信大家在必修一当中也有所了解，在必修一当中，我们是如何定义函数的最大值和最小值的呢？同学们一起来回顾一下。
设函数(y = f(x))的定义域为(R)，如果存在实数(m)，满足：一、对于任意实数(x\in R)，都有(f(x)\geq m)；二、存在(x_0\in R)，使得(f(x_0)=m)，那么我们称实数(m)为函数(y = f(x))的最小值。
在以上概念当中，我们要注意：第一点，对于任意的实数(x\in R)，(m)不大于其他点所对应的函数值(f(x))；第二点，必须能够存在(x_0\in R)，使得有点(x_0)和它对应，即(f(x_0)=m)。
同样的，当(m)不小于其他点所对应的函数值时，并且(m)能够取得，那么(m)就是函数(y = f(x))的最大值。
下面请同学们观察右边定义在区间([a,b])上的函数(y = f(x))的图像，并根据图像回答以下问题。
第一个问题，请大家找出这个函数的极大值和极小值。
根据图形可知，当(x = x_1)、(x = x_3)时，函数(y = f(x))取得极小值；当(x = x_2)时，函数(y = f(x))取得极大值。同学们想一想，(x = a)和(x = b)这两个端点是不是它的极值点呢？通过上节课的学习，我们知道在端点处的某一侧是没有定义的，所以(x = a)、(x = b)这两个端点处不是极值点。那么，(f(x_1))、(f(x_3))是函数(y = f(x))的极小值，(f(x_2))是函数(y = f(x))的极大值。
第二个问题，请同学们找出这个函数在区间([a,b])上的最大值和最小值。
通过图形可以发现，最大值对应的应该是最高点的纵坐标。那么在这个图像当中，哪个点所对应的是最高点呢？对，当(x = b)时，所对应的点是最高点，所以函数(y = f(x))在区间([a,b])上的最大值是(f(b))。
同样的，最小值对应的应该是最低点的纵坐标。通过图形可以发现，当(x = x_3)时，它所对应的点是这一段图像的最低点，所以函数在区间([a,b])上的最小值是(f(x_3))。
通过刚才研究的问题，请大家思考最大值和最小值有可能在哪些地方取得？我们可以发现，最大值和最小值有可能在端点处取得，也有可能在极值点处取得。所以，我们可以得到求(f(x))在闭区间([a,b])上的最大值和最小值的步骤：
第一步，求函数(f(x))在区间((a,b))内的极值，此时就要用到上节课所讲到的求函数极值的步骤；第二步，将函数(y = f(x))的各极值与端点处的函数值(f(a))、(f(b))比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
下面请同学看到例题的第一题，求函数(f(x)=\frac{1}{3}x^3 - 4x + 4)在区间([0,3])上的最大值和最小值。
同学们观察题目可以发现，这一题是求闭区间([0,3])上函数的最值。那么根据刚才所讲的求闭区间上函数最值的步骤，首先我们要求这个函数的极值。我们一起回顾一下求函数极值的一般步骤：
第一步，求出函数的定义域，当然这一题当中已经给出了区间([0,3])，所以在求极值的过程中，没有必要再求它的定义域；第二步，求出导函数(f^\prime(x))；第三步，解关于导函数的方程(f^\prime(x)=0)，如果求得的根不在这个区间([0,3])内，那么此根就要舍去；第四步，列出表格，列出题中所给的区间([0,3])上(x)、导函数(f^\prime(x))的变化情况；第五步，根据所列表格以及极值的定义，求出这个函数在([0,3])区间上的极值。
求出极值后，我们再将此极值与端点处的函数值进行比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值。
做这一题，首先我们先要求出这个函数在区间([0,3])上的极值，所以我们对这个函数进行求导，求得它的导数(f^\prime(x)=x^2 - 4)，令导函数(f^\prime(x)=0)，解得(x = 2)或(x = -2)。因为(x = -2)不在题中所给的区间([0,3])上，所以我们将(x = -2)舍去。
下面我们列出表格。通过表格我们可以发现，当(x)在区间([0,2))时，导函数(y^\prime)为负，函数(y)单调递减；当(x)在区间((2,3])时，导函数(y^\prime)为正，函数(y)单调递增。那么根据极值的定义，我们可以得到函数(f(x)=\frac{1}{3}x^3 - 4x + 4)在([0,3])上的极小值为(-\frac{4}{3})。
以上，我们可以求出这个函数的极值。第二步，我们再来求出这个函数在端点处的函数值，(f(0)=4)，(f(3)=1)。下面我们比较这个函数的极小值(-\frac{4}{3})和它在端点处的函数值(4)和(1)，得到函数(f(x)=\frac{1}{3}x^3 - 4x + 4)在区间([0,3])上的最大值为(4)，最小值为(-\frac{4}{3})。
对于最大值和最小值，有以下几点我们需要注意：
第一点，在闭区间上，连续函数必有最大值和最小值。如何理解这一句话呢？请同学们看到右边的这幅图，在这幅图当中我们可以看到最高点和最低点是取不到的，所以这个函数在开区间((a,b))内没有最大值和最小值。而在闭区间上，连续函数是一定有最大值与最小值的。
第二点，最值是整体的概念，而极值是个局部概念。
第三点，从个数上看，一个函数在定义域上若有最大值，则最大值只有一个；若有最小值，则最小值只有一个。而函数的极大值若有，不一定只有一个；极小值若有，也不一定只有一个。
下面请同学们来完成巩固训练的第一题。函数(f(x)=6 + 12x - x^3)在区间([ - 3,3])上的最大值是 ，最小值是 。
解：导函数(f^\prime(x)=12 - 3x^2)，令导函数等于(0)，可以解得(x = 2)或(x = -2)，此时(x = 2)或(x = -2)都在区间([ - 3,3])上。我们列出表格，通过表格可以发现，当(x)在区间([ - 3,-2))上时，导函数为负，函数单调递减；当(x)在区间(( - 2,2))时，导函数为正，函数单调递增；当(x)在区间((2,3])时，导函数为负，函数单调递减。
那么我们可以得到(f(2)=22)，(f( - 2)= - 10)，(f(3)=15)，(f( - 3)= - 3)。