师：同学们大家好，这节课我们一起来对本章内容做小结。首先看本章知识结构，这一章我们学习了推理与证明，包括推理和证明两部分。我们学习了两种推理形式，一种是合情推理，另一种是演绎推理。合情推理又分为归纳推理和类比推理。证明部分，我们主要学习了直接证明和间接证明。直接证明包含综合法和分析法，间接证明中我们主要学习了反证法。下面我们简要回顾本章要点。
一、归纳推理和类比推理都属于合情推理。归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理。二者都能由已知推测未知，用于猜测得出新规律，但推理结论的正确性有待证明。演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，主要形式为三段论，是数学证明中的基本推理模式。只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确。合情推理与演绎推理既有联系又有区别，相辅相成。前者为探索未知、提出猜想提供科学方法，后者为证明猜想的正确性提供科学推理依据。
二、综合法、分析法、反证法都是数学证明的基本方法。综合法从已知条件出发，通过不断推理得出结论，常用于从条件出发较易找到思路的问题。分析法从待证结论出发，寻找使结论成立的充分条件，常用于条件复杂、思考方向不明确的问题，其证明过程充分体现转化思想。单纯使用分析法证明的情况较少，通常是分析找思路，综合写过程，或者综合法、分析法合并运用。反证法则体现了正难则反的思想，用反证法证题时，关键在于通过正确推理得出矛盾。
三、来看典型例题。例一，观察下列等式，请同学们猜想一个一般性结论，并证明。（展示等式）同学们先思考一下。分析：通过观察这四个式子的结构，我们猜想结论可能是三个平方数的和等于(\frac{3}{2})。那这三个数分别是什么呢？我们从给定的四个特殊式子中，从数量上找规律。先看第一个式子，注意到中间项是(\sin5°)的平方，(5°)与第一项的(55°)和第三项的(65°)有联系，可将(55°)写成(60° - 5°)，(65°)写成(60° + 5°)。第二个式子同样有此规律，中间项是(\sin15°)的平方，(45°)可写为(60° - 15°)，(75°)可写为(60° + 15°)。第三个式子和第四个式子也具备这样的规律。中间项为(\sin25°)，(35°)可写为(60° - 25°)，(85°)可写为(60° + 25°)，第四个式子同理。
我们把中间项对应的角记为(\alpha)，每个式子中第一项对应的角记为(60° - \alpha)，第三项对应的角记为(60° + \alpha)。由此提出猜想：中间项为(\sin^{2}\alpha)，第一项为(\sin^{2}(60° - \alpha))，第三项为(\sin^{2}(60° + \alpha))。这个猜想是否正确，需要通过演绎推理论证。下面看等式证明。
观察等式结构，左式复杂，右式简单，从左式开始化简，由繁到简。左式是三个正弦值的平方，应用降幂公式，左式可化为(\frac{1}{2} - \cos(120° - 2\alpha) + \frac{1}{2} - \cos(120° + 2\alpha))。合并同类项并整理，可得(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}[\cos(120° - 2\alpha) + \cos2\alpha + \cos(120° + 2\alpha)])。应用两角和与差的余弦公式展开，得到(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\cos2\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\alpha + \cos2\alpha - \frac{1}{2}\cos2\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\alpha))。观察括号内五项，第二项和第五项抵消，第一项、第三项和第四项也抵消，后面为(0)。所以左式化简后为(\frac{3}{2})，左式等于右式，运用演绎推理完成了猜想的证明。本题考察归纳推理应用，通过观察特殊式子，归纳结构和数量特征，猜想结论，再经演绎推理验证。
下面看例二。如图，与三角形三边都相切的圆是三角形的内切圆，设(O)是(\triangle ABC)内切圆的圆心，(r)是(\triangle ABC)内切圆的半径，(S_{\triangle ABC})是(\triangle ABC)的面积，(l_{\triangle ABC})是(\triangle ABC)的周长。由等面积法可得内切圆半径(r = \frac{2S_{\triangle ABC}}{l_{\triangle ABC}})。
进一步看，与三棱锥四个面都相切的球叫三棱锥的内切球。设三棱锥体积为(V)，表面积为(S)。请用类比推理思想写出三棱锥内切球半径(R)的公式。这里涉及三角形和三棱锥，我们将它们类比，看看有什么联系和相似属性。（展示类比表格）三角形由三条线段围成封闭图形，四面体由四个平面围成封闭图形；三角形三边边长之和为(l_{\triangle ABC})，四面体四个三角形面积之和为四面体表面积(S)；三角形面积为(S_{\triangle ABC})，四面体体积为(V)；三角形有内切圆，四面体有内切球；三角形内切圆半径公式为(r = \frac{2S_{\triangle ABC}}{l_{\triangle ABC}})，那么四面体的内切球半径公式呢？
我们可以猜想，(R)应该是个分式，观察内切圆半径公式，分子是三角形面积，对应四面体的体积，所以(R)的分子是(V)；分母是三角形周长，对应四面体表面积，所以(R)的分母是(S)。注意到内切圆半径分子系数是(2)，四面体分子(V)前面系数猜是(3)，即(R = \frac{3V}{S})。