师：同学们，大家好！今天我们开始新一课的学习。上一节课，我们学习了函数的单调性与导数。这节课，我们继续学习导数的应用——函数的极值与导数。函数的极值是高中阶段接触的新内容，是下一节学习最大值与最小值的基础，所以大家对这部分内容要透彻理解。
在新课开始前，我们先来复习上节课学的两个知识点。
第一个知识点，函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？通过上节课学习我们知道，在某个区间(a)到(b)内，如果导函数(y'\gt0)，那么函数(y = f(x))在这个区间内单调递增；如果导函数(y'\lt0)，那么函数(y = f(x))在这个区间内单调递减。由此，我们能依据导函数的正负判断函数在某个区间内的单调性。
第二个知识点，用导数法确定函数单调性的步骤是什么？第一步，求函数(f(x))的定义域；第二步，求出函数的导函数(f'(x))；第三步，求不等式(f'(x)\gt0)的解集与定义域的交集，写出函数的单调递增区间；求不等式(f'(x)\lt0)的解集与定义域的交集，写出函数的单调递减区间。
下面，请同学们观察这样一幅图像，并回答第一个问题：函数(y = f(x))在(b)、(c)、(d)、(e)、(f)、(g)等点处的函数值，与这些点附近的函数值有什么关系？为方便研究，我们以图中的(d)点和(e)点为研究对象，将这两点处的函数图像局部放大。
通过观察图像，我们发现(d)点在其附近是最低点，所以(d)点处的函数值比附近的函数值都小；(e)点在其附近是最高点，所以(e)点处的函数值比附近的函数值都大。
第二个问题，(y = f(x))在这些点处的导数值是多少？我们仍以(d)点和(e)点为例。从图像中可以看到，(d)点和(e)点处可作出两条切线，这两条切线与(x)轴平行，所以这两点处的导函数为(0)。
第三个问题，在这些点附近，(y = f(x))的导数符号有什么规律？我们先看(d)点，在(d)点左侧附近，函数值不断减小，意味着原函数在(d)点左侧附近单调递减，所以导函数为负；在(d)点右侧附近，函数值不断增加，即(d)点右侧附近单调递增，导函数为正。同样地，观察(e)点，(e)点左侧附近函数值不断增大，导函数为正；(e)点右侧附近函数值不断减小，在右侧附近单调递减，导函数为负。
我们可以总结如下：对于函数(y = f(x))，在点(x = d)处的函数值(f(d))，比在(x = d)左右附近其他点的函数值都小，且(f'(d)=0)，我们就把点(d)叫做函数(y = f(x))的极小值点，(f(d))叫做函数(y = f(x))的极小值。在(x = d)附近，左侧导函数(f'(x)\lt0)，右侧(f'(x)\gt0)。
在这个定义中，有几点需要注意。我们说在(x = d)的左右附近，这里不仅指左边或右边，而是左右两边很小的一个范围内。端点只有单边，所以端点不能是极值点。另外，(x = d)把它叫做函数的极小值点，这个定义和必修一讲的零点定义有些相似，大家理解时要注意区分。
同理，对于函数(y = f(x))，在点(x = e)处的函数值(f(e))，比在其附近其他点的函数值都大，且(f'(e)=0)，我们把点(e)叫做函数(y = f(x))的极大值点，(f(e))叫做函数(y = f(x))的极大值。在(x = e)附近，左侧导函数(f'(x)\gt0)，右侧(f'(x)\lt0)。同样要理解两点：一是必须在点(e)的左右两侧附近；二是(e)指的是(x = e)。我们把刚才讲的极小值点、极大值点统称为极值点，极小值、极大值统称为极值。
下面大家思考两个问题：一是我们讲的极小值点、极大值点对于函数(f(x))来说是否唯一；二是极大值是否一定大于极小值？
请同学们观察图像。根据定义，如果函数先减后增，那么函数有极小值；如果函数先增后减，那么函数有极大值。从图中我们可以找出，当(x = b)、(x = d)、(x = f)时，是函数(y = f(x))的极小值点；(x = c)、(x = e)、(x = g)时，是函数(y = f(x))的极大值点。所以函数(y = f(x))有(3)个极大值点，(3)个极小值点，由此可知函数的极值点不唯一。
再看，(x = b)对应的函数值是极小值(f(b))，(x = e)对应的函数值是极大值(f(e))。通过图形可发现，极小值(f(b))大于极大值(f(e))，所以函数的极大值不一定比极小值大，即函数的极大值和极小值之间的大小关系不确定。
下面请同学们看几个练习，加深对刚才所学概念的理解。
第一题，函数(y = f(x))的导数(y')与函数值和极值之间的关系为。通过前面学习我们知道，导数(y')的正负对应函数的增减，函数由增到减有极大值，函数由减到增有极小值，所以这题(d)选项正确。
第二题，函数(f(x))的定义域为开区间((a,b))，导函数(f'(x))在((a,b))内的图像如图所示，则函数(f(x))在开区间((a,b))内有多少个极小值点？同学们知道，极小值是原函数先减后增，在极小值左侧附近，导函数(f'(x)\lt0)，在极小值右侧附近，导函数(f'(x)\gt0)，所以极小值点对应的导函数图像应该先负后正。请同学们在图中找一找，哪个点对应的图像函数值先负后正。我们发现只有(x = x_0)这点，它对应的导函数函数值先负后正，所以(x = x_0)是这个函数的极小值点，该函数有一个极小值点。
第三题，如图为(y = f(x))的导函数的图像，则下列判断正确的是。通过观察导函数图像，我们发现导函数在(-3)到(-1)这个区间上函数值为负，所以原函数在(-3)到(-1)这个区间上是减函数；导函数在(-1)到(2)这个区间上为正，所以原函数在(-1)到(2)这个区间上是增函数，所以一是错的，二是对的。导函数在(2)到(4)这个区间上为负，所以原函数在(2)到(4)这个区间上是减函数，三正确。(x = 2)应该是(f(x))的极大值点，四错误，所以这题应选(b)选项。
通过刚才这三个练习，大家对今天所学概念应该有了更深理解。下面我们看例题第一题，求函数(f(x)=x^3 - 12x + 12)的极值。根据定义，函数极值点处导数为(0)，所以我们利用导函数为(0)来求该函数极值。这个函数定义域为实数，这里省略不写。