师：同学们好，今天我们继续学习选修1 - 2第一章第一节回归分析的基本思想及其初步应用。通过前两节课，我们已了解如何建立回归模型，下面一起回忆具体步骤。
第一步，问题背景分析。在实际情境中确定研究对象，明确解释变量与预报变量。
第二步，画出解释变量与预报变量的散点图，观察它们之间的关系，比如是否具有线性相关关系。
第三步，由经验确定回归方程的类型。若数据呈线性相关关系，就选用线性回归方程。要知道，实际中虽真实模型客观存在，但通常我们不知其真实模样，只能依据问题背景和已有数学知识建立模型去近似，而统计学的任务就是建立近似效果更好的模型。
第四步，按一定规则，如最小二乘法，估计回归方程中的参数。
第五步，对回归方程结果进行残差分析，看残差图是否有异常，若有则检查数据或模型是否合适。还可用相关指数r2衡量回归模型的拟合效果。所以统计学在实际问题中的任务，就是寻求拟合效果更好的模型，用于预测或决策。
前两节课我们介绍了如何建立线性回归模型，若两个变量成非线性相关关系，又该如何建立模型呢？下面看例二。一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，收集了7组观测数据列于表1 - 3中，要建立y关于x的回归方程。在这个问题中，我们研究的是红铃虫产卵数y与温度x的关系，温度x是解释变量（自变量），红铃虫的产卵数y是预报变量（因变量）。了解这一点后，有没有更直观的方式了解它们的关系呢？对，可以画出散点图，以温度x为横轴，产卵数y为纵轴建立平面直角坐标系，依次画出样本点(21,7)、(23,11)等。
观察散点图，产卵数y与温度x呈线性相关关系吗？回忆学过的函数关系，这里的产卵数y和温度x更可能是什么关系呢？从图像看，随着温度x增加，产卵数y增加得越来越快，显然y与x不呈现线性相关关系，更可能是某种指数型函数模型，或者二次函数模型，亦或是幂函数模型。所以可以做多种尝试，比如考虑样本点是否分布在某个指数函数曲线(y = C_1×e^{C_2x})周围，或者是否分布在某个二次函数(y = C_3×x2 + C_4)中。
当模型不是线性回归模型时，用什么方法估计参数呢？当两个变量是线性相关关系时，可利用最小二乘法得到两个参数的估计公式，使残差平方和最小，从而找到与样本点最接近的回归模型，得到线性回归方程斜率与纵截距的估计值公式。当模型不是线性回归模型时，最小二乘法的思想还适用吗？适用，依旧可使残差平方和最小，找到与样本点最接近的函数模型。但原来的公式能用吗？不行，因为原公式针对的是线性回归方程的斜率与纵截距，对非线性回归方程，需根据数值和具体模型重新计算。用原来方法求解非线性回归方程，步骤可能更复杂。而划归是数学重要思想方法，对于非线性回归方程，能否通过适当变换，将其变成线性回归方程，再利用估计值公式求解呢？
可以试一试。比如对于这个例子，若认为样本点分布在某条指数函数曲线(y = C_1×e^{C_2x})周围，(C_1)和(C_2)是待定系数，如何确定呢？对解析式变形，把(C_1)写成(e^{lnC_1})，此时(y = e^{C_2x + lnC_1})，这里指数是一次式。令(y = e^z)，即(z = logy)，再令(b = C_2)，(a = logC_1)，就得到(z = bx + a)这个线性方程。这样就能先利用z关于x的线性回归模型，求解出y关于x的非线性回归模型。具体怎么做呢？要想求得z关于x的线性回归模型，先需要z关于x的相关数据。由表1 - 3求出变换后的样本数据，(z)是(logy)，所以(Z_1 = logY_1 = log7≈1.946)，(Z_2 = logY_2 = log11≈2.398)，依次算出剩下的(z)值。有了样本数据，画散点图，画出新的z关于x的散点图，从图中可看到变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可用线性回归方程拟合z关于x的关系。
这里是z关于x的线性回归方程，(\hat{b})公式为(\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{7}(x_i - \overline{x})(z_i - \overline{z})}{\sum_{i = 1}^{7}(x_i - \overline{x})2})，要计算这个公式，先求(\overline{x})和(\overline{z})，利用计算器或Excel软件算出(\overline{x}≈27.429)，(\overline{z}≈3.612)。接下来算分子，分子是((x_i - \overline{x})(z_i - \overline{z}))的和，在表格中依次计算，比如((X_1 - \overline{x})(Z_1 - \overline{z}) = (21 - 27.429)×(1.946 - 3.612)≈10.71)，同理算出其他值，得到(\hat{b})的分子约等于40.182。
再算分母，分母是((x_i - \overline{x})2)的和，在表格中依次求出((X_1 - \overline{x})2 = (21 - 27.429)2≈41.326)，同理算出其他值，得到(\hat{b})的分母约等于147.714。把数值代入，(\hat{b})约等于0.272。
接着计算纵截距(a)的估计值，(\hat{a} = \overline{z} - \hat{b}\overline{x}≈3.612 - 0.272×27.429≈ - 3.849)。得到(\hat{b})和(\hat{a})的值后，就得到z关于x的线性回归方程(\hat{z} = 0.272x - 3.849)。我们需要的是y关于x的回归方程，得到z关于x的回归方程后该怎么办呢？因为令(z = logy)，那么(y = e^z)，所以红铃虫的产卵数y对温度x的非线性回归方程为(\hat{y} = e^{0.272x - 3.849})。
有同学可能会想，如果认为样本点分布在某二次函数周围，如何确定(y = C_3×x2 + C_4)里的待定参数(C_3)和(C_4)呢？同样可做相应代数变换，令(t = x2)，(b = C_3)，(a = C_4)，则(y = bt + a)，得到y关于t的线性回归方程。把表1 - 3中的数据变换成变换后t关于y的数据，(t)是(x2)，所以(T_1 = X_12 = 212 = 441)，(T_2 = X_22 = 232 = 529)，得到新数据表后，画新的y关于t的散点图。
要求(y = bt + a)的回归方程，此时(\hat{b})有两种计算公式，(\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{7}(t_i - \overline{t})(y_i - \overline{y})}{\sum_{i = 1}^{7}(t_i - \overline{t})2})，另一种是(\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{7}t_iy_i - 7\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i = 1}^{7}t_i2 - 7\overline{t}2})。做题时选哪个公式，要看具体题目哪个数值好算。在指数模型里用的是第一个公式，下面在二次模型里用第二个公式讲解计算过程。