师：同学们好，上课前请准备好选修2 - 2的书、笔和草稿纸。今天我们一起复习第一章知识。先看本章知识结构，本章主要讲解微积分的两个核心概念：导数和定积分。导数分为三个部分：导数的概念、导数的运算、导数的应用。导数的概念，课本通过平均变化率，利用极限思想引入函数的瞬时变化率。同学们学了这么久，能不能从物理和几何角度解释导数呢？
生：（回答）
师：回答得很好。在物理上，我们学过平均速度和瞬时速度，运动的瞬时速度就是导数的物理意义。从几何角度看，平均变化率是曲线上两点割线的斜率，当两点无限接近一点时，就是曲线的切线斜率，这就是导数的几何意义。对于导数运算，我们从三个小部分学习。一是基本初等函数的求导，共有8个公式，希望同学们熟练记忆。二是导数的四则运算法则，运用法则运算时，大家要根据法则结构特征逐一带入，这样不仅能提高准确率，还能增强自我检查和反思意识。三是简单复合函数的导数，运算时要搞清楚谁是内函数，谁是外函数。导数为函数应用打开了大门，利用导数可以解决函数的单调性问题，求函数的极值和最值，以及生活中的优化问题。学完导数，我们又学习了微积分的另一个核心概念——定积分。定积分主要讲解了定积分的概念和微积分基本定理，通过定积分可以解决几何上曲边梯形的面积，以及物理上匀变速直线运动的位移问题。
下面我们通过实例感受一下。过原点(O)作曲线(f(x)=x^3 - 2x^2 + x)的切线，求该切线方程，请同学们先在草稿纸上做一下。
同学们，做出来了吗？先回答老师一个问题，你们求出的切线方程有几条呢？
生：老师，我觉得有一条。因为原点(O)在曲线上，所以可以以(O)点为切点做一条切线。
师：还有同学有不同答案吗？
生：不止一条。因为是过原点，可能存在一条直线，它是曲线的切线，但切点不是(O)点，只是经过了(O)点。
师：在解决这题前，老师用几何画板给大家展示一下。（在几何画板上作出函数(f(x)=x^3 - 2x^2 + x)的曲线）如图所示，我们看到原点(O)在曲线上，这样我们可以过(O)点做一条直线，移动这条直线。同学们注意观察，在这点时，就是以(O)点为切点的切线了。还有吗？老师继续移动直线，在这个过程中它们是相交的。注意在这个位置，我们发现这条直线以这一点为切点，经过了(O)点，满足题意。继续移动直线回到起始位置，通过移动过程我们发现切线有几条？
生：两条。
师：下面我们一起动手做一下。首先，因为不知道曲线的切点，所以第一步设切点，设切点坐标为((x_0,y_0))，切点在曲线上，所以得到关系式(y_0 = x_0^3 - 2x_0^2 + x_0)。对函数求导，导函数是(3x^2 - 4x + 1)，那么切线的斜率(k = 3x_0^2 - 4x_0 + 1)。根据点斜式可以写出切线方程，记为(l)。因为原点在切线上，将原点坐标代入(l)可得方程(0 - (x_0^3 - 2x_0^2 + x_0) = (3x_0^2 - 4x_0 + 1)×(0 - x_0))，化简后得到(x_0^3 - x_0^2 = 0)，解得(x_0 = 0)或者(x_0 = 1)。把(x_0 = 0)代入(l)，得到切线方程是(y = x)；把(x_0 = 1)代入(l)，得到切线方程为(y = 0)。所以切线方程有两条，分别为(y = x)或者(y = 0)。同学们做对了吗？通过这个例题，我们总结一下利用导数解决曲线切线问题需要注意的两个方面。利用导数求曲线的切线方程时，首先要抓切点，求在点(P)处的切线，点(P)一定是切点；求过点(P)的切线，点(P)不一定是切点。用导数求曲线切线方程的步骤：第一步，先求出函数(y = f(x))在点(x = x_0)处的导数，也就是曲线在该点处切线的斜率；第二步，再根据点斜式方程写出切线方程。研究完导数与曲线的切线问题，下面看导数在函数单调性、极值、最值方面的应用。
首先看例题，已知函数(f(x)=ax - \ln x)。一、讨论函数(f(x))的单调性；二、若函数(f(x))在区间([1,3])上单调递减，求参数(a)的取值范围。同学们，做这题前，回忆一下利用导数研究函数单调性的步骤是什么？
生：（回答）
师：回答得很好。第一步，先求函数的定义域；其次求导函数；然后解不等式；最后写出单调区间。下面请大家根据这四个步骤完成第一题。
看第一问，首先解出函数的定义域为((0, +∞))，它的导函数是(a - \frac{1}{x})，通分后为(\frac{ax - 1}{x})。下面解不等式，观察发现这个分式型不等式分母(x)一定是正的，所以只需要考虑分子。分子含有参数(a)，解不等式时要将(a)从左边移到右边，此时需要对(a)分大于(0)、小于(0)、等于(0)讨论。下面我们一起来讨论。
第一种情况，当(a \leq 0)时，(ax \leq 0)，这时(ax - 1 \lt 0)，所以导函数恒小于(0)，函数在((0, +∞))上单调递减。当(a \gt 0)时，先解出导函数对应的根是(x = \frac{1}{a})。下面解不等式，第一种情况，(f^\prime(x) \gt 0)，可得(x \gt \frac{1}{a})，这是导函数大于(0)的情况，所以得到单调递增区间；导函数小于(0)，解得(0 \lt x \lt \frac{1}{a})，那么(f(x))在((0, \frac{1}{a}))上单调递减。最后综上可得，当(a \leq 0)时，函数(f(x))在((0, +∞))上单调递减；当(a \gt 0)时，函数(f(x))在((\frac{1}{a}, +∞))上单调递增，在((0, \frac{1}{a}))上单调递减。同学们，根据第一问，能不能帮我们解决第二问呢？下面同学们思考一下第二小问。
同学们，第一问已经知道根据(a)取值不同，函数单调性有所区别。在这一题中，首先如果(a \leq 0)，此时函数(f(x))在((0, +∞))上单调递减，满足题意，恒成立。当(a \gt 0)时，函数(f(x))在((0, \frac{1}{a}))上单调递减，要想让它在([1,3])上单调递减，必须保证([1,3])是((0, \frac{1}{a}))的一个子区间，这样就得到(3 \leq \frac{1}{a})，解得(0 \lt a \leq \frac{1}{3})。综上，(a)的取值范围为((-∞, \frac{1}{3}])。同学们，还有其他办法吗？
生：对于这一类题型，可以利用导数与不等式的关系构建一个不等式恒成立问题。
师：很好，下面我们一起来做一下。首先因为导函数是(a - \frac{1}{x})，且函数在区间([1,3])上单调递减，那么就等价于对任意(x \in [1,3])，导函数小于等于(0)恒成立。分离参数后等价于对任意(x \in [1,3])，(a \leq \frac{1}{x})。我们可以求出(y = \frac{1}{x})在([1,3])上的值域，(y = \frac{1}{x})在([1,3])上单调递减，所以它的值域是([\frac{1}{3},1])，这样就得到(a \leq \frac{1}{3})，所以(a)的取值范围为((-∞, \frac{1}{3}])。通过这个例题的学习，我们掌握了导数与函数单调性的关系。下面我们总结一下。