师：同学们好，通过前几节课对选修4 - 5不等式选讲的学习，我们知道自然界中不等关系与相等关系一样普遍存在。许多不等关系涉及距离长短、面积或体积大小、重量大小等，通常都要用非负数来表示。对于任意实数，哪些运算可以得到非负数呢？
生：平方、取绝对值。
师：对，平方我们已经研究很多了，今天从实数的绝对值讲起。对于某实数a，能求解出它的绝对值吗？
生：当a大于0时，a的绝对值等于a；当a等于0时，a的绝对值等于0；当a小于0时，a的绝对值等于 - a。
师：大家还记得初中是如何定义绝对值的吗？
生：在数轴上坐标为a的点，a到原点的距离称为a的绝对值。
师：如果有两个实数a、b，能在数轴上标出a - b的绝对值吗？
生：先在数轴上找到实数a、b的对应点A和B，a - b的绝对值表示数轴上A、B两点之间的距离，即线段AB的长度。
师：绝对值的几何意义是认识绝对值的重要工具，距离大小是研究绝对值问题的基本出发点。从运算角度研究绝对值，最简单的是两个实数a、b的绝对值与它们加减运算a + b的绝对值、a - b的绝对值之间的关系。比如a + b的绝对值与a的绝对值、b的绝对值之间有何关系？a + b的绝对值等于a的绝对值加b的绝对值吗？我们举几个特殊值来看，3 + 4的绝对值与3的绝对值加4的绝对值之间是什么关系？
生：它们是相等关系。
师：那 - 3加 - 4的绝对值与 - 3的绝对值加 - 4的绝对值呢？
生：也是相等关系。
师：这里举的实数都是同正或同负的，当a、b两个实数一正一负时，比如 - 3加4的绝对值与 - 3的绝对值加4的绝对值还是相等关系吗？
生：左边等于1，右边等于7，左边小于右边。
师：这里有正数、负数，如果里面出现了0，比如 - 3 + 0的绝对值与 - 3的绝对值加0的绝对值之间又是什么关系？
生：还是相等关系。
师：从这些特殊值例子，大家能发现什么关系？
生：如果a、b都是实数，那么a + b的绝对值小于等于a的绝对值加b的绝对值，不等式中是小于还是等于与a、b的正负符号有关。
师：这个猜想是真的吗？我们利用绝对值的几何意义来看。在数轴上任取两点A、B表示实数a、b，能在数轴上标出a的绝对值和b的绝对值吗？
生：不能，因为根据绝对值定义，a的绝对值表示实数a到原点的距离，b的绝对值表示实数b到原点的距离，这里没有原点，标不出来。
师：原点可能在哪呢？
生：可能在AB的左边、中间、右边，也可能与A点或B点重合。
师：我们将O点从左至右移动，根据原点O与a、b两点之间的相对位置关系分类讨论。比如O点在AB左侧，此时a、b都是正数，a + b的绝对值与a的绝对值、b的绝对值有怎样的关系？
生：a、b都是正数时，a + b也是正数，此时a + b的绝对值等于a的绝对值加b的绝对值。
师：继续移动O点，当O点与点A重合时呢？
生：此时a = 0，a + b就是b，那么a + b的绝对值就等于b的绝对值加0的绝对值，也就是a的绝对值。
师：继续往右移动，当O在AB两点之间时，实数a、b一正一负，a + b的位置在哪？它们的绝对值之间又是什么关系？
生：一正一负会正负抵消一部分，此时a + b的绝对值小于a的绝对值加b的绝对值。也就是说当a、b在O点的两侧时，即a、b异号时，a + b的绝对值小于a的绝对值加b的绝对值。
师：再往右移动，O点与B点重合时呢？
生：此时实数b = 0，a + b就是a，a + b的绝对值就等于a的绝对值加0的绝对值，也就是b的绝对值。可以把这种情况和刚才a = 0的情况结合，即当a、b中有一点与O重合时，即实数a、b有0时，a + b的绝对值仍然等于a的绝对值加b的绝对值。
师：继续往右移动，当O点在AB右侧时呢？
生：a和b此时都是负数，两个负数的和也是负数，比如 - 3加 - 4，此时a + b的绝对值等于a的绝对值加b的绝对值。可以把这种情况跟第一种a、b都为正数的情况结合起来，即当a、b在O点的同侧时，即实数a、b同号时，a + b的绝对值等于a的绝对值加b的绝对值。
师：综上所述，我们刚刚的猜想是正确的，即a + b的绝对值小于等于a的绝对值加b的绝对值，当且仅当a、b同号或a、b中有0时，等号成立。我们把这个结论称为定理一。刚刚利用分类讨论给出了定理一的几何解释，下面同学们能从代数角度证明一下定理一吗？
生：要从代数角度证明，做差法是常用方法，但这里绝对值过多，直接做差困难。因为a的绝对值加b的绝对值与a + b的绝对值都是非负数，所以可以先平方再做差。a + b绝对值的平方等于(a + b)2，展开后，a2等于a的绝对值的平方，b2等于b的绝对值的平方，最后得到原式等于2×(a×b - a的绝对值×b的绝对值)，即2倍的(a×b - a×b的绝对值)。因为a乘以b的绝对值肯定大于等于a乘以b，所以这个式子小于等于0，这样a + b的绝对值的平方就小于等于a的绝对值加b的绝对值括号的平方，两边都是非负数，开平方得到a + b的绝对值小于等于a的绝对值加b的绝对值。当且仅当a乘以b的绝对值等于a乘以b时，即a乘以b大于等于0时，等号成立。
师：从几何和代数两个角度论证了定理一的正确性。如果把定理一中的实数a、b分别换为向量a和向量b，能得到什么结果？不等式左边是向量a + 向量b的模，右边是向量a的模加向量b的模，它们之间仍然是小于等于的关系吗？
生：在必修4平面向量那一章学过，分向量a与向量b共线与不共线两种情况讨论。当向量a与向量b不共线时，根据向量加法的三角形法则，向量a、向量b、向量a + b构成一个三角形，利用三角形两边之和大于第三边，得到向量a + 向量b的模小于向量a的模加向量b的模。当向量a与向量b共线时，分同向与反向讨论。共线同向时，首尾相接，向量a + 向量b的模等于向量a的模加向量b的模；共线反向时，向量a + 向量b的模小于向量a的模加向量b的模。所以把定理一中的实数a、b换为向量a和向量b，不等式依旧成立，当且仅当向量a与向量b共线同向时，等号成立。这里共线同向可以类比数轴上的a、b大于等于0来理解，共线反向可以类比a、b异号来理解。
师：由于定理一和这个向量形式的不等式以及左边三角形的联系，我们把定理一中的不等式称之为绝对值三角不等式。定理一中的称为一维的绝对值三角不等式，向量替换得到的称为二维的绝对值三角不等式。刚刚研究了两个实数和的绝对值与绝对值的和之间的关系，能根据定理一的研究思路探究一下a的绝对值、b的绝对值、a + b的绝对值、a - b的绝对值之间的其他关系吗？比如a的绝对值 - b的绝对值与a + b的绝对值有什么关系？与a - b的绝对值又有什么关系？a - b的绝对值与a的绝对值 + b的绝对值之间有什么关系？以a - b的绝对值与a的绝对值 + b的绝对值为例来看。利用绝对值的几何意义，在数轴上任取a、b两点表示实数a和实数b，a - b的绝对值表示数轴上a、b两点之间的距离，能在数轴上标出a的绝对值或b的绝对值吗？