师：同学们好，上一节课我们介绍了绝对值三角不等式，今天继续介绍绝对值不等式的解法。首先，从某个数的绝对值说起，对于实数(x)的绝对值，大家能有哪些理解？我们可以从代数角度理解，当(x\gt0)时，(\vert x\vert = x)；当(x = 0)时，(\vert x\vert = 0)；当(x\lt0)时，(\vert x\vert = -x)。还能从几何角度理解，(\vert x\vert)表示数轴上坐标为(x)的点到原点的距离。
同学们想一想，还能联系到我们学过的哪些知识？看到在(x)不同取值范围内，绝对值结果不同，也可以从分段函数角度理解。从函数角度看，(y = \vert x\vert)就是一个分段函数，当(x\gt0)，函数是(y = x)；当(x\lt0)时，(y = -x)；当(x = 0)时，图像过原点。
从代数、几何和函数这三个角度，都能理解(\vert x\vert)的意义。下面同学们能解这个不等式吗？可以根据刚刚三个角度理解不等式意义来求解。
先利用绝对值的几何意义，(\vert x\vert)表示数轴上(x)到原点的距离，所以(\vert x\vert\lt1)，表示数轴上到原点距离小于(1)的点的集合。我们先在数轴上找到到原点距离等于(1)的点，即(-1)与(1)，那么到原点距离小于(1)的点的集合就在(-1)与(1)之间，所以此不等式的解集是(( -1, 1))。
当然也能从代数角度解决这个不等式，分类讨论。当(x\geq0)时，(\vert x\vert = x)，原不等式转化为(x\lt1)，相当于解不等式组(\begin{cases}x\geq0 \ x\lt1\end{cases})，该不等式组的解集是([0, 1))。当(x\lt0)时，(\vert x\vert = -x)，原不等式转化为(-x\lt1)，在(x\lt0)的前提条件下，解为(x\gt -1)，此时解集是(( -1, 0))。
综上，原绝对值不等式的解集是(( -1, 0)\cup[0, 1))，写成区间形式就是(( -1, 1))。从代数角度考虑，还能用之前学的方法，先平方，因为左右两边都是非负数，将不等式两边平方得到(x^2\lt1)，移项后利用平方差公式，解得(-1\lt x\lt1)，不等式的解集还是(( -1, 1))。
还有别的方法吗？可以从函数角度看这个不等式，先画出函数(y = \vert x\vert)的图像，再画出(y = 1)的函数图像。从函数观点看，(\vert x\vert\lt1)的解集表示(y = \vert x\vert)图像位于(y = 1)图像下方部分所对应的(x)的取值范围。求出两函数交点横坐标是(-1)与(1)，那么落在(y = 1)下方部分所对应的(x)取值范围就是(( -1, 1))。从函数观点也能解决这个绝对值不等式问题。所以，对(\vert x\vert)意义有不同理解，就能从不同角度解决绝对值不等式。
同学们能不能类比刚刚思路，解一下下面这个不等式呢？刚刚的(4)种方法都能用，老师这里用第一种，即绝对值的几何意义。(\vert x\vert\gt1)表示数轴上到原点距离大于(1)的点的集合。画出数轴，找到到原点距离等于(1)的点，到原点距离大于(1)的点就在这两个点之外，即((-\infty, -1)\cup(1, +\infty))。
解决这两个问题后，要注意解不等式时，结果一定要写成集合或区间的形式。下面把问题一般化，同学们讲讲(\vert x\vert\lt a)或者(\vert x\vert\gt a)型的不等式如何求解呢？这里(a)可以取任意实数，但(a = 0)或者(a\lt0)时，没有研究必要。比如(a = -1)，(\vert x\vert\lt -1)的解集是空集，(\vert x\vert\gt -1)的解集是实数集。所以，我们仅研究(a\gt0)时不等式的解。类比刚刚解法，利用绝对值的几何意义求解这类不等式。
对于(\vert x\vert\lt a)，它表示数轴上到原点距离小于(a)的点的集合。在数轴上找到到原点距离等于(a)的点(-a)与(a)，那么到原点距离小于(a)的点的集合就在(-a)与(a)之间，即(-a\lt x\lt a)，解集写成区间形式是(( -a, a))。同理，(\vert x\vert\gt a)表示数轴上到原点距离大于(a)的点的集合，就在(-a)到(a)之外，即(x\lt -a)或(x\gt a)，写成区间形式是((-\infty, -a)\cup(a, +\infty))。
继续一般化，同学们能解(\vert x - x_1\vert\lt a)或(\vert x - x_1\vert\gt a)这个不等式吗？从绝对值几何意义理解，(\vert x - x_1\vert)表示数轴上坐标为(x_1)的点与坐标为(x)的点之间的距离。(\vert x - x_1\vert\lt a)表示数轴上到坐标为(x_1)的点的距离小于(a)的点的集合。在数轴上先标出(x_1)，再找到到(x_1)距离等于(a)的点，即(x_1 - a)与(x_1 + a)。那么到(x_1)距离小于(a)的点的集合就在(x_1 - a)与(x_1 + a)之间，写成集合形式是((x_1 - a, x_1 + a))。同理，(\vert x - x_1\vert\gt a)表示数轴上到坐标为(x_1)的点的距离大于(a)的点的集合，就在(x_1 - a)与(x_1 + a)之外，写成集合形式是((-\infty, x_1 - a)\cup(x_1 + a, +\infty))。
换个思路，把(x - x_1)看成一个整体，这里的不等式就又划归为之前研究的(\vert X\vert\lt a)的形式。利用刚刚探究的结果解这个绝对值不等式，(\vert X\vert\lt a)意味着(-a\lt X\lt a)，即(-a\lt x - x_1\lt a)，解这组不等式得到(x_1 - a\lt x\lt x_1 + a)。同理，把第二个不等式转换为(\vert X\vert\gt a)，其解集是(X\lt -a)或(X\gt a)，即(x - x_1\lt -a)或(x - x_1\gt a)，由此得到(x)的取值范围是(x\lt x_1 - a)或(x\gt x_1 + a)，也能得到这两个不等式的解。也就是说，对于(\vert x - x_1\vert)的问题，既可以利用绝对值几何意义求解，也可以划归为之前(\vert x\vert)的问题求解。
更一般的，如果是(\vert ax + b\vert\leq c)或(\vert ax + b\vert\geq c)类型的不等式，如何求解呢？通过一个例题来看，比如解不等式(\vert 3x - 1\vert\leq 2)。类比刚刚思路，把(3x - 1)看成整体(X)，相当于解不等式(\vert X\vert\leq 2)，其解是(-2\leq X\leq 2)，即(-2\leq 3x - 1\leq 2)。左边(3x - 1\geq -2)，解得(x\geq -\frac{1}{3})；右边(3x - 1\leq 2)，解得(x\leq 1)。所以原不等式的解集是([-\frac{1}{3}, 1])。
能用绝对值的几何意义做这题吗？怎么做？若想用绝对值几何意义求解这个不等式，先对不等式变形，在不等式两边同除以(3)，原不等式转换为(\vert x - \frac{1}{3}\vert\leq \frac{2}{3})。这个不等式的几何意义是数轴上到(\frac{1}{3})的距离小于等于(\frac{2}{3})的点的集合。先找到数轴上到(\frac{1}{3})距离等于(\frac{2}{3})的点，即(\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3})和(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1)。数轴上到(\frac{1}{3})距离小于等于(\frac{2}{3})的点就在(-\frac{1}{3})到(1)之间，所以从几何意义上也能得到不等式的解集是(x\geq -\frac{1}{3})且(x\leq 1)。