师：同学们好，今天我们一起来学习选修4 - 5第二讲“证明不等式的基本方法”中的第三节“反证法与放缩法”。首先，我们来看一则故事——道旁苦李。王戎7岁的时候，和小朋友们一起玩耍，看见路边有株李树，结满了熟透的李子，枝条都快被压断了。小朋友们争先恐后地跑去摘，只有王戎没有动。有人问他为什么不去摘李子，王戎回答说，这应该是苦李子，不好吃。摘来一尝，果然不好吃。大家能不能用命题的形式改编一下这个故事，并加以证明呢？命题是由条件和结论组成的，那么这个故事的条件是什么？结论又是什么呢？
生：道路旁边的李树结满了熟透的李子，这是条件；王戎下的结论是这李子不好吃。
师：非常好。我们用命题的形式可以这样表述：已知路边李子树上结满了熟透的李子，求证路边李子不好吃。那如何来证明这个否定的结论呢？直接证明比较困难，我们就可以考虑它的反面。假如李子好吃，会有什么样的结果呢？我们一起来证明一下。
证明：假设李子好吃，那么这树长在大路边上，熟透的李子早被人摘光了。这与“结满了熟透的李子，枝条都快被压断了”相矛盾。既然出现了矛盾，说明我们的假设不成立，所以路边李子不好吃。我们再来回顾一下这个过程。首先我们假设李子好吃，也就是对结论进行了否定。第一步我们否定结论，接下来再把这个否定的结论当作条件进行推理论证，得到矛盾，最后因为矛盾说明假设不成立，从而肯定原结论。这个过程就是我们今天要讲的反证法。用反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题不成立，以此为出发点进行正确的推理，得到矛盾的结论，说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称之为反证法。我们可以从形式上来分析一下，要证明的命题记为p，假设它不成立，也就是假设非p，把非p当作条件进行正确的推理，得出矛盾，说明假设不成立，最后肯定原命题。
好，接下来我们一起探究一下反证法到底有哪几个步骤。我们再回到刚才的问题情境，它分为三步。第一步是否定结论，假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立；第二步是推理论证，得到矛盾，把结论的反面当作条件，通过一系列的推理得出矛盾，这里可以与已知条件矛盾，与已有的公理、定义矛盾，当然也可以与客观事实矛盾；第三步，否定假设，肯定结论。
接下来我们看具体的例题。例一，已知(x)、(y)大于0，且(x + y)大于2，证明(\frac{1 + x}{y})，(\frac{1 + y}{x})中至少有一个小于2。我们先来分析一下题目，条件比较简单，(x)、(y)是正数，且(x + y)这个整体大于2。要证的结论是(\frac{1 + x}{y})，(\frac{1 + y}{x})中至少有一个小于2，包含有一个小于2或者两个都小于2这三种情况。大家来考虑一下，这个结论的否定是什么呢？
生：至少有一个小于2的否定是都不小于2。
师：对，所以我们证明起来就比较方便，就可以考虑用反证法来证。大家可以先思考一下。
首先我们假设(\frac{1 + x}{y})，(\frac{1 + y}{x})都不小于2，即(\frac{1 + x}{y} \geq 2)，(\frac{1 + y}{x} \geq 2)。再根据题目条件，(x)、(y)大于0，我们可以把这两个分式不等式转换成整式。那究竟如何得出矛盾呢？我们再看题目条件，给的是(x + y)这个整体大于2。观察这两个式子，如何可以得出(x + y)这个整体呢？
生：把它们俩相加。
师：非常好。我们相加整理可得(x + y \leq 2)，这与题目给的条件(x + y)大于2矛盾，所以我们的假设不成立，即原命题成立。通过例一，我们进一步巩固了反证法的三个步骤，知道了如何运用反证法。那究竟什么时候适宜用反证法呢？下面我们一起来探究一下。像我们刚才例一里面出现了“至少”“最多”等这样字眼的限制性命题，可以用反证法；或者像问题情境里面这种否定式命题，也可以用反证法。当然，如果直接证明难以入手的时候，我们可以考虑反证法。唯一性命题、基础性命题也可以用反证法。总之，当正面不好考虑的时候，我们就从它的反面来考虑，即正难则反。下面我们看一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定。
常见词语“至少有一个”的否定是“一个也没有”；“至多有一个”的否定是“有两个或者两个以上”；“唯一一个”的否定是“没有，要有两个或两个以上”；“不是”的否定是“是”；“不可能”的否定是“可能有或存在”；“全都是”的否定是“不都是”。这里我们已经知道了什么时候适宜用反证法，以及如何来用反证法，下面我们一起来练习一下。
已知(a + b + c)大于0，(ab + bc + ca)大于0，(abc)大于0。求证(a)、(b)、(c)三者都大于0。我们先来分析一下，题目给了三个条件，要证的结论很简单，但条件和结论之间的联系不够明显，如果直接证明有困难，所以我们可以考虑用反证法。那这个结论的否定是什么呢？
生：三者都大于0的否定是三者不都大于0，也就是说至少有一个要小于等于0。
师：对，这个时候我们就要逐个对(a)、(b)、(c)进行讨论。但是注意到题目的条件，(a)、(b)、(c)三者的结构特征，可以发现，任意改变(a)、(b)、(c)的位置，它们的条件是不变的。所以这里我们只用考虑一种情形，考虑(a)，(b)和(c)类似。经过分析，大家自己尝试写一下它的过程。
首先我们证明，假设(a)、(b)、(c)不都是正数，即其中至少有一个不是正数。我们不妨设(a)小于等于0，(a)小于等于0，我们可以继续分成两种情况，(a = 0)和(a \lt 0)。
当(a = 0)的时候，我们可以发现由题目给的已知条件，(bc = 0)与(abc)大于0相互矛盾，所以(a = 0)不可能。
如果(a \lt 0)呢？因为(a \lt 0)，由(a + b + c)大于0，可得(b + c)大于(-a)，也就是(b + c)大于0。又因为(abc)大于0，(a \lt 0)，所以(bc \lt 0)。我们把(ab + bc + ca)变形为(a(b + c) + bc)，因为(a \lt 0)，(b + c)大于0，所以(a(b + c) \lt 0)，又(bc \lt 0)，那么(a(b + c) + bc \lt 0)，这与(ab + bc + ca)大于0矛盾。
所以(a \lt 0)也不可能。因此假设不成立，所以(a)大于0。同理可证，(b)大于0，(c)大于0。所以原命题成立。通过训练一，我们进一步巩固了反证法的运用，大家课下的时候一定要多积累，多练习，熟练地掌握反证法。
下面我们再来看例2，已知(a)、(b)、(c)、(d)属于正实数，求证中间这个式子大于1小于2。我们先来观察一下中间这个式子，大家有没有想过把它们进行通分？因为它们的分母不一样，如果通分相当复杂。思考一下，我们可以如何变化使它们的分母变成相同的呢？我们先来观察前面两个式子，分母它们有公共的部分是(a)、(b)，不同的是(c)和(d)。我们可以添加一下，或者舍掉一下，使它们的分母变成相同的。如果添加一下，这个添一个(c)，这个添一个(d)，分母就可以变成相同的了；如果舍掉一下，把这个(d)，这个(c)舍掉，那么它的分母也可以变成相同了。那我们接下来就可以进行运算啦。我们具体地来看一下。