师：各位同学大家好，今天我们来看第二课时类比推理。首先复习一下上节课的内容。上节课我们学习了归纳推理，归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理；或者由个别事实概括出一般结论的推理，简称归纳。
归纳推理的特征是由特殊推出一般，由部分推出整体 ，作用是发现新事实，获得新结论。这里要注意，归纳推理的结论不一定成立，需要逻辑证明和实践检验。
下面进入今天的内容，先来看几幅图片。据说春秋时代鲁国的鲁班，一次去林中砍树时，被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子。鲁班的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手；我需要一种能割断木头的工具，它也可以是齿形的。通过这种对比带来的启发，他发明了锯子。
还有，人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇。
再看这颗红色星球，它是太阳系的行星之一——火星。早在几百年前，人类就开始用望远镜观测它。最近60年里，人类一共向火星发射了44艘探测器，其中有的已经登陆火星，开始研究火星的土壤和岩石。为什么科学家如此热衷于研究火星呢？这是因为人们发现火星与地球有许多类似的特征。
下面具体来看，这里列出了火星与地球几种相似的特征。火星和地球一样，都是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，都有大气层，一年中都有四季的变更，火星大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存。科学家们研究发现，火星表面的温度介于零下5度到零下87度之间。由于地球上有生命存在，于是我们猜想火星上可能也有生命存在。这个结论是怎么产生的呢？来看具体的思维过程。因为地球和火星存在着某些类似特征，并且地球上有生命存在这一已知特征，所以我们猜测火星上也可能有生命存在这一特征。这就是我们今天要学的一类重要推理——类比推理。
来看它的定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理。从定义可以看出，类比推理是两类事物特征之间的一种推理，它从人们已经掌握的事物属性，推测出正在研究的事物属性，是以旧的认识为基础，类比出新的结果。简而言之，类比推理是特殊到特殊的推理。
类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a、b、c、d ，B类事物具有性质a′、b′、c′ 。其中a、b、c与a′、b′、c′相似或相同，就可以猜测B类事物可能具有性质d′。
类比推理的一般步骤是：一、找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；二、用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想，即通过观察、比较、联想、类推，猜想新结论。
同学们思考一下，类比推理的结论一定正确吗？来看一个代数中的例子，例一是根据等式的性质猜想不等式的性质。在代数中，我们主要研究等量关系和不等关系。这里给出等式的几条性质：第一条，a = b，推出a + c = b + c，我们把它称为等式的可加性；第二条，a = b，推出ac = bc，称为可乘性；第三条，a = b，推出a2 = b2，称为可平方性等等。
现在我们类比猜想不等式的性质：a ＞ b，推出a + c ＞ b + c；第二条，a ＞ b，推出ac ＞ bc；第三条，a ＞ b，推出a2 ＞ b2等等。同学们看一看类比的结论正确吗？大家很容易发现，不等式的第二个和第三个性质是错误的。通过这个例子可知，类比推理的结论不一定成立，和归纳推理一样，它的结论需要经过逻辑证明和实践检验。
下面尝试用这种推理方法来解决一些问题。例2第一小题，类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。这里给出了实数加法的一些运算性质。具体来看：第一个，若a、b都是实数，则a与b的和属于实数，这条性质表明两个实数相加的和还是实数。我们知道在实数的乘法里，两个实数的积也是实数，所以有，若a、b ∈ R，则ab ∈ R。
第二个是运算律，实数的加法满足交换律和结合律，同样，实数的乘法也满足交换律和结合律。所以有ab = ba ，(ab)c = a(bc) 。
第三个，幂运算。加法的逆运算是减法，使得方程a + x = 0有唯一解的x就是 - a，我们把它称为a的相反数，任何一个实数都有相反数。那么乘法的逆运算是除法，使得方程ax = 1有唯一解的x就是1/a ，在a ≠ 0的时候，1/a称为a的倒数，除了0之外，所有的实数都有倒数。
第四个其他性质，a + 0 = a，任意实数与0相加的和都不变。同样，在乘法运算中，a × 1 = a，任意实数与1相乘的乘积不变。加法和乘法都是实数参与的运算，它们的运算是类似的，这里属于方法的类比。
接着再看一个数列的例子。第二题，在等差数列{an}中，若a10 = 0，则有a1 + a2 + … + an = a1 + a2 + … + a19 - n（n ＜ 19，且n ∈ N*）。类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9 = 1，则存在怎样的等式？请同学们思考一下。
同学们会发现这个结论很难猜出。在数列中，等差和等比数列是两类特殊的数列。根据等差数列的性质，若两项的序号和相等，那么两项的和就相等。由a10 = 0，我们得到2a10 = 0，也就是a1 + a19 = 0，a2 + a18 = 0，一直到an + a20 - n = 0 。这样一来可以产生a1 = - a19，a2 = - a18，一直到an = - a20 - n 。
再根据等差数列中间项与项的和关系，我们可以发现S19 = 19a10 = 0，也就得到a1 + a2 + … + a18 + a19 = 0 。把等式中的前n项保持不变，后面的19 - n项移到等式右边去，进而出现a1 + a2 + … + an = - a19 - a18 - … - an + 1 。
再根据刚才的结论， - a19换成a1， - a18换成a2，一直下去， - an + 1换成了a19 - n，于是右边变成了a1 + a2 + … + a19 - n ，这样一来就证明了等差数列这个结论是成立的。
那么同学们思考等比数列的等式怎么发现呢？首先等差数列的和可以类比到等比数列的积里面去。我们知道在等比数列中有这样一个性质，如果两项的序号和相等，那么两项的积就相等。其次观察等差数列的这个等式，我们发现两边的末项序号关联。左边的末项序号是n，右边的序号末项是19 - n，它们的和等于19，而对于数列{an}来讲，a10就是前19项的中间项。那么这道题相当于告诉我们，当等差数列的中间项等于0的时候，上面的等式就一定成立。
由此我们可以类比到等比数列里面去。假如b9作为等比数列的中间项，那么这个数列一共有多少项呢？应该是17项。于是我们可以类比写出等比数列的等式猜想：b1 × b2 × … × bn = b1 × b2 × … × b17 - n（n ＜ 17，且n ∈ N*）。
好，下面来验证这个猜想的正确性。仿照等差数列的证明过程，由b9 = 1，我们知道b92 = 1 ，而b92又等于b1 × b17 = b2 × b16 = … = bn × b18 - n ，所以b1 = 1/b17，b2 = 1/b16，b3 = 1/b15，一直下去，bn = 1/b18 - n 。
再根据等比数列当中前17项的积等于1。我们把前n项放在左边不变，后面的17 - n项移到等式的右边去，进而出现b1 × b2 × … × bn = 1/b17 × 1/b16 × … × 1/bn + 1 ，进而换成了b1 × b2 × … × b17 - n 。
这样一来，这个猜想的结论也就证明了。一般来说，等差数列的和类比到等比数列的积，等差数列的差类比到等比数列的商，等差数列的积类比到等比数列的幂。
除了代数上的类比以外，我们还会研究几何当中的类比。数学家玻利亚说过，类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。下面来看一下平面中的图形类比到空间会变成哪些图形。平面中的点类比到空间是点或线，平面中的线类比到空间是线或面，平面中的周长类比到空间就是表面积，平面中的面积类比到空间就是体积，平面直角坐标系类比到空间就是空间直角坐标系。类比推理的关键在于寻找一个合适的类比对象。