师：同学们好，今天我们来学习第一章1.5.2——汽车行驶的路程。首先，回顾上节课内容。上节课我们学习了曲边梯形面积的求法，求曲边梯形面积的思想和基本步骤是什么呢？
其思想是以直代曲和逼近，基本步骤有四个：分割、近似代替、求和、取极限。分割时，我们将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，接着用小矩形分别代替小曲边梯形的面积，通过求这些矩形面积之和，得到曲边梯形面积的近似值。当分割越来越细，即Δx趋近于0，或者说n趋向无穷大时，这个和就会得到一个极限值，也就是曲边梯形面积的精确值。
其次，当已知汽车行驶路程与时间的关系式为s = F(T)时，汽车在时刻T?的瞬时速度可用前面所学的导数来求，即T?处的瞬时速度v = F'(T?)。反之，如果已知汽车的速度与时间的关系式为v = v(t)，又该如何求其在一定时间内的路程s呢？如果汽车以速度v做匀速直线运动，经过时间t所行驶的路程s = v×t。
但生活中并非所有直线运动都是匀速的，比如F1方程式赛车，赛车起跑时以额定功率加速，速度与时间的函数图像已知，且速度与时间的函数关系式为v = v(t)，那从时刻a到时刻b共行驶了多少路程呢？显然，这不属于匀速直线运动，这就是我们今天要讲的变速直线运动的路程。请同学们打开课本翻到42页。
我们来看思考一：已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t) = -t2 + 2，求汽车在t≥0且t≤1时段内行驶的路程s。这个问题中，时间已知，但速度随时间变化。我们可以作出速度与时间的函数图像，那能否用0时刻对应的速度代替整个0到t上的速度呢？显然与真实值相差太远，用1时刻的速度代替也不合适，差距同样很大。那怎样让速度更接近真实情况呢？我们可以类比前面学习的曲边梯形面积的求法，以直代曲，这里能否近似地以不变代变呢？通过什么方式达到近似效果呢？这需要分成四步：分割、近似代替、求和、求极限。
我们将区间[0, 1]进行分割，把它等分成n个小区间，设每个区间长度为Δt，则Δt = 1/n。这些小区间依次为：第一个区间是[0, 1/n]，第二个区间是[1/n, 2/n]，第i个区间是[(i - 1)/n, i/n]，一直到最后一个区间[(n - 1)/n, 1]。
第二步近似代替。当n很大时，Δt很小，在每个小区间上v(t)的变化很小，可认为汽车近似做匀速直线运动。我们以区间左端点时刻对应的速度作为该区间的速度，把左端点代入v(t) = -t2 + 2t中的t，可得各段内的路程。第一段路程为2×(1/n)，因为左端点是0，代入得2；第二段路程为[-(1/n)2 + 2]×(1/n)；最后一段路程为[-( (n - 1)/n )2 + 2]×(1/n)。
我们把第i段的路程记为ΔS?，则ΔS?可近似用ΔS?'表示，ΔS?' = [-( (i - 1)/n )2 + 2]×(1/n)。
第三步求和。我们要把刚才求得的ΔS?'累加起来，即∑[-( (i - 1)/n )2 + 2]×(1/n)，i从1累加到n。在这个式子中，1/n是每个式子都有的，中括号内的2也是每个式子都有的，而-( (i - 1)/n )2会随i变化。具体计算为：1/n×(- (02/n2) - (12/n2) - … - ( (n - 1)2/n2) + 2n)。
进一步化简，提取 -1/n2，得到 -1/n3×(12 + 22 + … + (n - 1)2) + 2。这里12 + 22 + … + (n - 1)2的和，根据公式12 + 22 + … + n2 = 1/6×n×(n + 1)×(2n + 1)，在本题中应为 -1/n3×(1/6×(n - 1)×n×(2n - 1)) + 2。为了求极限，再进一步化简为 -1/3×(1 - 1/n)×(1 - 2/n) + 2。
第四步求极限。当n趋向无穷大时，这个近似和为 -1/3×(1 - 1/n)×(1 - 2/n) + 2，其极限值为 -1/3×1 + 2 = 5/3，所以路程s的准确值为5/3千米。
刚才近似代替时我们用的是区间左端点，若用区间右端点近似代替，结果会怎样呢？此时行驶路程s为多少？右端点是i/n，与用左端点的区别就是i/n替换了(i - 1)/n。
那么前面小区间的路程可写为[-(i/n)2 + 2]×(1/n)，从i = 1累加到n。求和时，1/n可提取到前面，中括号内2在每个因式中都一样，而-(i/n)2会随i从1到n变化。所以求和式子为1/n×(- (12/n2) - (22/n2) - … - (n2/n2) + 2n)。