师：同学们好，上节课我们主要学习了不等式的基本性质，这节课我们来学习基本不等式。之前我们已经学过重要不等式：(a^{2} + b^{2} \geq 2ab)，(a)、(b \in R)。为方便大家学习，我们将它以定理形式给出并加以证明。
定理一：若(a)、(b \in R)，那么(a^{2} + b^{2} \geq 2ab)，当且仅当(a = b)时，等号成立。怎么证明定理一呢？可以用分析法或者综合法，我们用综合法试试。把(2ab)移到不等号左边，(a^{2} + b^{2} - 2ab)，可以配凑成完全平方式((a - b)^{2} \geq 0)，当且仅当(a = b)时，等号成立，这就是定理一的代数形式。
那从几何角度怎么解释定理一呢？我们要构造(a^{2})、(b^{2})和(2ab)，可以把实数(a)、(b)当作线段长度。假设(a \geq b)，看右图，正方形(ABCD)边长为(a)，旁边小正方形(CEFG)边长为(b)，所以正方形(ABCD)面积是(a^{2})，正方形(CEFG)面积是(b^{2})。
怎么构造(2ab)呢？由这两个正方形面积想到构造两个矩形面积。哪两个矩形呢？矩形(CGHB)和矩形(CDIG)，它们有公共区域(CGKJ)。矩形(BCGH)和矩形(CDIG)长为(a)，宽为(b)，面积之和为(2ab)。
矩形(BCGH)和矩形(JCDI)的公共部分是正方形(JCGK)，边长等于(b)，其面积与正方形(CEFG)面积相等。把公共区域(CGKG)平移过来，当(a \geq b)时，正方形(ABCD)和正方形(CEFG)面积之和就大于等于所有阴影部分面积之和。当且仅当(a = b)时，两个矩形变成两个正方形，阴影部分面积等于正方形(ABCD)与正方形(CEFG)面积的和，即(a^{2} + b^{2} = 2ab)。
由定理一变形，用(\sqrt{a})代替(a)，用(\sqrt{b})代替(b)，可得(a + b \geq 2\sqrt{ab})。这里(a)、(b)的范围是什么呢？因为有(\sqrt{a})和(\sqrt{b})，被开方数必须大于等于(0)。(a)或(b)等于(0)的情况显而易见，我们主要研究(a)、(b)为正实数的情况。这两个不等式都有(a)和(b)，但取值范围不同，前者(a)、(b)的范围是实数集，后者(a)、(b)的范围是正实数。后者就是我们这节课要学的基本不等式，以定理二的形式给出。
怎么证明定理二呢？把(a)改成((\sqrt{a})^{2})，(b)改成((\sqrt{b})^{2})，利用重要不等式得到((\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} \geq 2\sqrt{ab})，当且仅当(\sqrt{a} = \sqrt{b})，即(a = b)时，等号成立。(a)、(b)为正实数，(\frac{a + b}{2})叫做(a)、(b)的算术平均数，(\sqrt{ab})称为(a)、(b)的几何平均数，所以基本不等式也叫均值不等式，可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。
这是定理二的代数形式，那定理二的几何意义怎么解释呢？我们一起探究基本不等式的几何意义，要构造(\frac{a + b}{2})和(\sqrt{ab})。借助直角三角形(ABC)，(CD)是直角三角形(ABC)斜边上的高，(CO)是斜边上的中线，令(AD = a)，(BD = b)，那么(CO = \frac{1}{2}(a + b))，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(\sqrt{ab})怎么构造呢？熟悉的同学能发现可直接利用直角三角形射影定理，(CD^{2} = AD \times BD)。不熟悉的同学，可用两个相似三角形，即(\triangle DCA)和(\triangle DBC)，由线段成比例可得(CD = \sqrt{ab})。当(a \neq b)时，在直角三角形(COD)中，斜边大于直角边，即(CO > CD)，也就是(\frac{a + b}{2} > \sqrt{ab})。如果(a = b)，直角三角形(ABC)就变成等腰直角三角形，斜边上的中线和斜边上的高重合，就得出(\frac{a + b}{2} = \sqrt{ab})。由此得到基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高。
同学们，还能给出基本不等式的其他几何解释吗？由这个直角三角形会想到它的外接圆，(OD)是圆的半径，(CD)是圆的半弦，所以几何解释还可以表示为：圆的半径不小于半弦，由半径想到直径，也可表示为：圆的直径不小于弦长。
我们学习基本不等式，主要解决数学中的哪几类问题呢？首先可以利用基本不等式求最值。例一，求(y = x + \frac{1}{x})的值域。求函数值域先注意定义域，(x)作为分母，(x \neq 0)，即(x > 0)或者(x < 0)。此题可用对勾函数单调性求解，若想用基本不等式求，因为(a + b \geq 2\sqrt{ab})，(a)、(b)是正实数，就需要分类讨论。
当(x > 0)时，可直接使用基本不等式，当且仅当(x = \frac{1}{x})，即(x = 1)时，等号成立。当(x < 0)时，(y = x + \frac{1}{x})，左右两边同时乘以(-1)，使(-x)和(-\frac{1}{x})变成两个正数，再利用基本不等式，当且仅当(-x = -\frac{1}{x})，即(x = -1)时，等号成立。所以此题值域为((-\infty, -2] \cup [2, +\infty))。
这个题目给我们两个知识点：第一，如果利用基本不等式求值域，定义域为负数时，可在等式左右两边同时乘以(-1)，使加号两侧式子为正数；第二，乘积为定值。我们来举一反三。
当(x > 2)时，求(y = x + \frac{1}{x - 2})的值域。为使积为定值，把(x)变形为(x - 2 + 2)，即(y = x - 2 + \frac{1}{x - 2} + 2)。因为(x > 2)，所以(x - 2 > 0)，(x - 2 + \frac{1}{x - 2} \geq 2\sqrt{(x - 2) \times \frac{1}{x - 2}} + 2 = 4)，当且仅当(x - 2 = \frac{1}{x - 2})，即(x = 3)时，等号成立。
把题目变形，定义域改成(x \geq 4)。若直接用基本不等式求解，会发现等号成立条件(x = 3)不在定义域(x \geq 4)内。首先设(t = x - 2)，因为(x \geq 4)，所以(t \geq 2)。把等式转化成(y = t + \frac{1}{t} + 2)，(y = t + \frac{1}{t})是对勾函数，(t \geq 2)时单调递增，所以(t = 2)即(x = 4)时取得最小值，值域是(y \geq 2 + \frac{1}{2} + 2 = \frac{9}{2})。
第3小题，当(x \in (0, \frac{1}{4}))时，求(y = x(1 - 4x))的最大值。由积为定值想到和是否为定值，有同学可能想用二次函数求，若想用基本不等式求解，先把基本不等式变形，为使和为定值，把(x)变形为(\frac{1}{4} \times 4x)，这样(4x + (1 - 4x) = 1)为定值，当且仅当(4x = 1 - 4x)，即(x = \frac{1}{8})时，等号成立，(\frac{1}{8})在((0, \frac{1}{4}))范围内。
再看第4小题，有的同学可能这样想：直接把(\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1)利用基本不等式(\frac{1}{x} + \frac{9}{y} \geq 2\sqrt{\frac{1}{x} \times \frac{9}{y}})，得到(\sqrt{xy} \geq 6)，当且仅当(\frac{1}{x} = \frac{9}{y})时等号成立。要求(x + y)最小值，再次利用基本不等式(x + y \geq 2\sqrt{xy})，根据(\sqrt{xy} \geq 6)，得到(x + y \geq 12)，当且仅当(x = y)时等号成立，得出(x + y)最小值为(12)。这样对吗？仔细观察会发现，两次使用基本不等式有两个等号成立条件，即(\frac{1}{x} = \frac{9}{y})和(x = y)，它们不能同时成立，所以(x + y)最小值为(12)是错误的。
那这个题目怎么做呢？首先把二元问题转化成一元问题。方法一，由(\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1)，用(y)表示(x)，得到(x = \frac{y}{y - 9})，那么(x + y = \frac{y}{y - 9} + y)，转化成关于(y)的求值域问题，需要求(y)的取值范围。因为(x > 0)，即(\frac{y}{y - 9} > 0)，结合(y > 0)求出(y > 9)。(\frac{y}{y - 9} + y)，可利用导数求值域，也可利用分离常数法，化简得到((y - 9) + \frac{9}{y - 9} + 10)，(y - 9 > 0)，((y - 9) \times \frac{9}{y - 9})为定值，可直接利用基本不等式求解。
方法二，把这类问题看作一类，在(x + y)上直接乘以(1)，即((x + y)(\frac{1}{x} + \frac{9}{y}))，通过化简等于(10 + \frac{y}{x} + \frac{9x}{y})，(\frac{y}{x})和(\frac{9x}{y})乘积为定值，可直接利用基本不等式求解。
我们总结一下，利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”。“一正”是各项均为正数；“二定”是含变数的各项和或者积为定值；“三相等”是注意等号成立的条件。使用基本不等式取等号取不到时，可考虑用对勾函数单调性求解。连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立条件一致。
接下来看第二个应用，利用基本不等式证明不等式。请看例2，设(a)、(b)、(c)都是正数，求证(\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \geq a + b + c)。这个不等式左边是三项分式，右边是三项整式。若想用基本不等式(a + b \geq 2\sqrt{ab})，左边两项右边一项，该怎么证明呢？
因为(a)、(b)、(c)都是正数，所以(\frac{bc}{a})、(\frac{ac}{b})、(\frac{ab}{c})也都是正数。试着用(\frac{bc}{a})和(\frac{ac}{b})利用基本不等式，可得(\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} \geq 2c)，为定值。由(2c)想到把要证不等式左右两边同时乘以(2)，将(2(\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c}))拆成(6)项，分成(3)组。第一组就是刚证明的(\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} \geq 2c)；第二组(\frac{ac}{b})和(\frac{ab}{c})，它们乘积为定值；第三组(\frac{ab}{c})和(\frac{bc}{a})，乘积也为定值。把这三个不等式相加，两边同时除以(2)，当且仅当(a = b = c)时，等号成立。虽然三次使用基本不等式，但等号具有传递性，所以等号成立。
用基本不等式证明不等式时，应先依据不等式两边式子结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件。对含条件的不等式证明问题，要将条件和结论结合，寻找变形思路，构造出基本不等式。切记连续使用基本不等式时，每次等号成立条件要一致。
再看第三个应用，基本不等式的实际应用。求证第一小题，在所有周长相同的矩形中，正方形面积最大；在所有面积相同的矩形中，正方形周长最短。可以把文字语言转化成数学符号语言。设矩形长为(x)，宽为(y)，矩形周长是(2(x + y))，面积是(xy)。
第一小问转化成数学语言就是：若(2(x + y))为定值，正数(x)、(y)满足什么关系时，(xy)最大。第二小问转化成数学语言是：若(xy)为定值，正数(x)、(y)满足什么关系时，(2(x + y))最小。
同学们试着证明。设矩形长为(x)，宽为(y)。第一小题，周长为定值，设周长为(l)，即(2x + 2y = l)，可得(x + y = \frac{l}{2})。求(xy)，由(x + y)和(xy)想到用基本不等式直接求解，可得(xy \leq \frac{l^{2}}{16})，当且仅当(x = y)时，即矩形为正方形时，(xy)取得最大值(\frac{l^{2}}{16})，可总结为“和定积最大”。
第二小问，设矩形面积为定值(s)，即(xy = s)。求(2(x + y))，里面有(x + y)且已知(xy)，仍利用基本不等式求解，得到(2(x + y) \geq 4\sqrt{s})，当且仅当(x = y)时，即矩形是正方形时，周长取得最小值(4\sqrt{s})，可总结为“积定和最小”。
来看与生活息息相关的一个例题，请同学们仔细阅读材料。第一小题，设总造价为(s)元，(AD)长为(x)米，试建立(s)关于(x)的函数关系式。总造价分三部分：第一部分是正方形(MMPQ)上建花坛，每平方米(4200)元，其面积是(x^{2})，这部分造价为(4200x^{2})；第二部分是四个矩形上铺花岗岩地坪，每平方米(210)元，设(DQ)为(y)，一个矩形面积是(xy)，(4)个矩形面积就是(4xy)，这部分造价是(210×4xy)；第三部分是四个直角三角形上铺草坪，每平方米(80)元，每个直角三角形是等腰直角三角形，一个面积为(\frac{1}{2}y^{2})，四个直角三角形面积就是(4×\frac{1}{2}y^{2} = 2y^{2})，这部分造价是(80×2y^{2})。
所以(s = 4200x^{2} + 210×4xy + 80×2y^{2})，表达式中有(x)和(y)两个变量，需要把(y)用(x)表示。由题可知两个相同矩形(ABCD)和(EFGH)构成(200)平方米的十字形地域，这部分面积是正方形(MMPQ)和四个矩形面积之和，即(x^{2} + 4xy = 200)，那么(y = \frac{200 - x^{2}}{4x})。把(y)代入式子化简得到(s = 38000 + 4000x^{2} + \frac{400000}{x^{2}})。
第二小问，当(x)为何值时(s)最小，并求出最小值。因为(4000x^{2})和(\frac{400000}{x^{2}})互为倒数型，想到直接利用基本不等式，当且仅当(4000x^{2} = \frac{400000}{x^{2}})时，等号成立，即(x = \sqrt{10})时，总造价最小为(118000)元。
解答不等式应用题，一般分四步：第一步，阅读并理解材料；第二步，把文字语言转化成数学符号语言，建立数学模型；第三步，讨论不等关系；第四步，做出结论。
同学们，这节课我们主要学习了哪些内容呢？可以从探究过程、探究内容和思想方法三方面思考。我们由重要不等式通过换元得到基本不等式，也叫均值不等式，一起探究了基本不等式的几何意义。学习基本不等式主要用于求最值、证明不等式和解决实际应用题。这节课用到的思想方法有数形结合、分类讨论和转化划归思想。课后作业，请同学们课后完成。这节课就讲到这，同学们再见。