师：同学们好，在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事。明月高悬，当我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问：遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？这个问题对于现在的我们已不再是谜。但早在1671年，法国的两位天文学家就在思考这个问题。那时条件有限，他们是如何测量月亮与地球之间距离的呢？
他们选择了几乎位于同一子午线的柏林与好望角，我们记为AB两点。通过测量计算出角α、β以及两地间的距离，从而算出月亮与地球间的距离约为385400千米。两位天文学家是如何根据这三个条件计算出月亮到A点以及到B点距离的呢？细心的同学可能发现了，这里构造了一个三角形，把要求的月亮到A点及B点的距离，转化为这个三角形的两条边。这样，问题就转化为已知三角形的两角及一边，求另外两边的数学问题。
而我们现在正在学的正弦定理，就可以解决这样的问题。其实正弦定理和余弦定理在实际测量中有很多应用，比如能帮我们解决测量距离、高度、角度以及有关三角形的计算。那我们今天就来研究它们在实际测量距离问题中的应用。首先，我们一起来回忆一下正弦定理和余弦定理的有关内容。
正弦定理指的是，在三角形中，各边与它所对的角的正弦比值相等，用符号表示为：(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R)（(R)为其外接圆的半径）。
余弦定理的内容是，三角形中任意一边的平方，等于另外两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积的两倍。以(c)边为例，(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C)，(a^{2})、(b^{2})同样可以写出。把余弦定理经过简单变形就能得到它的推论：(\cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab})。
那正弦定理和余弦定理能够解决什么类型的三角形问题呢？同学们先思考一下。
同学们，我们一起来回忆，如果一个三角形已知两角及一边，该如何求解呢？我们先把相关信息标上去，已知角(B)、角(C)以及边长(a)。此时，我们可以先借助三角形内角和等于(180^{\circ})，求出角(A)，然后再用正弦定理求剩下的两个元素。
如果已知两边及其中一边所对的角，我们仍然可以借助正弦定理解其余元素。把相关信息标上去，已知(a)、(b)和角(B)，怎么求呢？我们先借助(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B})这个等式，先求出(\sin A)，从而求出角(A)，然后借助三角形内角和(180^{\circ})求出角(C)，进而求出边长(c)。
如果已知三边的信息，那么我们可以用余弦定理的推论求出三个角。如果已知两边及其夹角，我们可以先运用余弦定理求第三边，再求剩下的元素。不管是哪一种类型，同学们会发现，要解三角形的六个元素，需要知道三个条件，而且这三个条件中至少要提供一个边的信息。
那么我们现在进入今天的主题，来看例一：如何测定河两岸两点(AB)间的距离？这里有一点不可到达，不妨设(A)点不可到达，且在(B)点的同一侧。那如何测量(AB)呢？
可能有同学已经注意到了，求(AB)的长度和测量月亮与地球间的距离很相似，都是有一点不可到达，所以我们可以借助刚才的测量方法来求(AB)。怎么求呢？构造三角形。我们在这里选择一个观测点(C)，测量出(BC)的长度，生活中有很多测量距离的工具，比如钢卷尺之类的。然后连接(AC)，运用测量角度的仪器测量出角(C)、角(B)，分别记为(\alpha)、(\beta)。这样，这个三角形就已知两角及一边。同学们思考下，此时(AB)如何求出？
同学们，我们一起来看。刚才已经说了，这一题可以借助正弦定理。正弦定理是指三角形中各边与所对的角的正弦比值相等。针对这一题，我们选择哪些边和角建立等量关系呢？我们一起来分析。题目让我们求(AB)，那一定要用上，题目又给了(BC)边，所以我们可以说由正弦定理得(\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A})，将有关信息代入，(\frac{AB}{\sin \alpha}=\frac{BC}{ \sin A})。我们发现题目中没有直接给出角(A)，所以在解答过程中要先说明角(A = \pi - (\alpha + \beta))。
最后经过简单运算，就能得到(AB = \frac{BC \cdot \sin \alpha}{\sin(\pi - (\alpha + \beta))})，这里(\sin(\pi - (\alpha + \beta)))可以用诱导公式进行简单处理，结果是(AB = \frac{BC \cdot \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)})，这就是这一题的答案。
在这里给大家介绍一个概念，在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线。如本例中的(BC)，基线的选取不唯一，一般基线越长，测量的精确度越高。那同学们这题听懂了吗？现在我把条件变一下，同学们看这题该如何解决，我们一起来看例二。
例二：如何测定河对岸两点(A)、(B)间的距离？在这一题中，同学们要注意两点(A)、(B)都不可到达。那如何测量呢？根据前面经验，要求(AB)可以构造三角形。现在我们选择一个观测点(C)，构造三角形(ABC)。那我想问同学们，此时能求出(AB)吗？我们发现这个三角形中能直接测量的只有角(C)，其他的边和角都无法直接测量出来。
那如何解决这个问题呢？可能有同学已经发现了，(AC)和(BC)无法直接测量，但是(AC)和(BC)其实就是刚才例一中我们要解决的问题，所以我们可以采用例一中的解法，先求出(AC)、(BC)，然后在三角形(ABC)中，已知两边及夹角，就可以求出(AB)。还记得例一是如何求(AC)的吗？我们可以再选一个观测点，比如说(D)点，测量出(CD)的长度，然后连接(AD)。在三角形(ADC)中，我们可以测量出角(D)及角(\angle ACD)，然后用例一的方法就可以求出(AC)。同理，我们也可以求(BC)，如何求呢？也可以找一个观测点，用刚才的方法来求。这里我们直接借用(CD)，只要把(BD)连起来，然后测量角(\angle BDC)和角(\angle BCD)也可以求出(BC)。为了表达方便，我们把这四个角分别记为(\alpha)、(\beta)、(\gamma)、(\delta)。那同学们，你们现在来动笔试试看，如何用这些已知量表示出(AC)、(BC)及(AB)。
同学们求出来了吗？我们一起来看一下。在三角形(ADC)中运用正弦定理得到(AC)的表达式是(\frac{CD \cdot \sin(\gamma + \delta)}{\sin(\beta + \gamma + \delta)})。在(\triangle BDC)中运用正弦定理得到(BC)的表达式。然后再在三角形(ABC)中运用余弦定理就可以直接求出(AB)。
请同学们想一想，还有没有别的测量方法？在研究三角形时，灵活地根据两个定理可以寻找出多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐。如何找出最优的方法，最主要的还是要分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方法。课下同学们可以思考一下还有没有更巧妙的方法。
接下来我们再来看生活中的一个实例，自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆(BC)的长度。已知车厢最大仰角(60^{\circ})，油泵顶点(B)到车厢(A)支点间的距离为(1.95)米，(AB)与水平线间的夹角为(6^{\circ}20')，(AC)为(1.40)米，计算(BC)长，精确到(0.01)米。
我们首先来分析一下，在这个题目中有一个名词叫最大仰角，什么叫最大仰角呢？所谓最大，就是车厢已经倾斜到不能再倾斜为止。那什么叫仰角呢？仰角指的是在同一铅垂平面内，视线与水平线所成的角，如果视线在水平线的上方，这个角为仰角；如果视线在水平线的下方，这个角称之为俯角。弄清这个概念之后，那如何求(BC)呢？我们发现(BC)已经在三角形(ABC)中了，这是一个什么样的三角形？这个三角形中已知什么？要求什么？同学们现在拿出笔和纸，思考一下，画出并抽象出它的数学模型。