师：同学们好，今天我们要学习人民教育出版社A版必修五第三章第三节“二元一次不等式组与平面区域”的第一课时。不等式大家都不陌生，初中我们就学过一元一次不等式。那什么是一元一次不等式？它的一般形式是怎样的呢？“一元”指含有一个未知数，“一次”指未知数的次数是一，这样的不等式就称为一元一次不等式。它的一般形式为ax + b＞0或ax + b≥0，ax + b＜0或ax + b≤0，其中x前的系数a不能为0。在上一节，大家也学习了一元二次不等式的解法。
那什么是一元二次不等式？它的一般形式又如何呢？同样，“一元”指含有一个未知数，“二次”指未知数的最高次数是2，这样的不等式就是一元二次不等式。它的一般形式为ax2 + bx + c＞0或ax2 + bx + c≥0，ax2 + bx + c＜0或ax2 + bx + c≤0，其中最高次项x2前的系数a不能为0。
在现实生活和数学中，我们会遇到各种不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究。来看这样一个例子，一家银行信贷部计划年初投入不超过2500万元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少带来3万元收益，其中从企业贷款获益12%，从个人贷款获益10%。那么信贷部该如何分配贷款资金呢？这就成了一个实际问题。我们先看看如何把这个实际问题转化为数学问题。年初投入一部分用于企业贷款，一部分用于个人贷款，所以要设两个未知量，设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。
再看文字语言中哪些能转化为符号语言。题目第一句说年初投入不超过2500万，也就是x与y的总和要小于等于2500万。大家看这个式子，含有x、y两个未知数，且x和y的次数都是一次，这显然不是我们之前学过的一元不等式了。我们把含有两个未知数且未知数次数是一次的不等式称为二元一次不等式。
再看题目中的另一个限定，要求这笔资金至少带来3万元收益，一部分收益来自企业贷款，一部分来自个人贷款，也就是12%x + 10%y要大于等于3万元。这个式子同样含有两个未知数，未知数次数是一次，也是二元一次不等式。我们化简一下，即12x + 10y大于等于300万。实际问题中还常有一些隐含限定要求，这里企业和个人贷款资金数额都不能是负值，转化成符号语言就是x≥0，y≥0。这样我们就抽象出了数学模型，分配贷款资金应满足以下4个条件：x + y≤2500万；12x + 10y≥300万；x≥0；y≥0。这四个不等式构成了不等式组。
我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。那二元一次不等式的解集表示的图形是什么样的呢？首先回忆一下，一元一次方程的根所表示的图形是什么？比如x - 4 = 0，这是一个一元一次方程，它的根是x = 4，我们会在数轴上把它表示出来，x = 4这个点对应的就是一元一次方程x - 4 = 0的根。
再来思考二元一次方程的解集所表示的图形，比如x - y = 6，满足这个二元一次方程的x、y取值构成有序实数对(x, y)，所有这样的有序实数对构成的集合称为二元一次方程的解集。有序实数对可看成直角坐标平面内点的坐标，于是二元一次方程的解集就可看成直角坐标系内点构成的集合。x - y = 6可改写成y = x - 6，这和初中学习的一次函数y = kx + b形式吻合，所以y = x - 6是一个一次函数，它的图像是一条直线，那么x - y = 6在平面直角坐标系中的图形就是一条直线。
再看一元一次不等式的解集所表示的图形，比如x - 4＞0，它的解集是x＞4，在数轴上是4右边的所有点。那么二元一次不等式的解集表示什么图形呢？比如x - y＜6，满足这个二元一次不等式的x、y取值同样构成有序数对(x, y)，所有这样的有序数对构成的集合就是二元一次不等式x - y＜6的解集，那它在平面直角坐标系上对应的图形是什么样呢？接下来我们探究在平面直角坐标系中满足不等式x - y＜6的解集。
x - y＜6表示什么图形呢？在刚才的数轴上，x = 4对应的是数轴上一个点，这个点把数轴分成左半部分和右半部分，左半部分是x＜4，右半部分的点对应x＞4。现在我们知道直线x - y = 6会把平面直角坐标系所在平面分成左上方和右下方，那x - y = 6这条直线会不会也是一个分界线，它把平面分成的两部分，一部分刚好对应x - y＜6，另一部分刚好对应x - y＞6呢？为验证猜想，我们可以取一些特殊点来验证。
先在直线左上方取点，这条直线上有点(-2, -8)，在它上方取点(-2, -5)；直线上有点(1, -1)，在它上方取点(1, -2)；直线上有点(4, -2)，在它上方取点(4, 3)；直线上有点(8, 2)，在它上方取点(8, 4)。这四个点都在直线左上方，我们看看它们代入后x - y和6的大小关系。把(-2, -5)代入，-2 - (-5) = -2 + 5 = 3＜6；1 - (-2) = 1 + 2 = 3＜6；4 - 3 = 1＜6；8 - 4 = 4＜6，均使得x - y＜6。
再在直线右下方取点，把这些点代入看看结果。(-2, -9)代入，-2 - (-9) = -2 + 9 = 7＞6；(1, -8)代入，1 - (-8) = 1 + 8 = 9＞6；(4, -4)代入，4 - (-4) = 4 + 4 = 8＞6；(8, -3)代入，8 - (-3) = 8 + 3 = 11＞6。