师：同学们好，今天我们一起来学习高中数学人教A版必修5第三章第三节3.3.2简单的线性规划第二课时。首先，回顾上节课所学知识。上节课通过一个引例，某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品每件使用4个A配件耗时1小时，乙产品每件使用4个B配件耗时2小时。该厂每天最多从配件厂获得16个A配件和12个B配件，每天工作8小时。那么，该厂所有可能的日生产安排是什么？
通过这个引例，我们学习了解决实际问题的数学方法，即在 linear 约束条件下求线性目标函数的最优解。其过程如下：
寻找线性约束条件和线性目标函数。
由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域。
在可行域内求目标函数的最优解。
下面，通过一个具体的线性规划问题回顾线性规划的操作过程。求(z = 2x + y)的最大值，使(x)、(y)满足约束条件：(y \leq x)，(x + y \leq 1)，(y \geq -1)。
首先，画出约束条件所表示的可行域。先建立平面直角坐标系，画出边界直线(y = x)、(x + y = 1)、(y = -1)。通过特殊点定域，找出不等式组所表示的平面区域，即可行域。
第二步，对目标函数(z = 2x + y)进行变形，将(y)表示为(x)的一次函数：(y = -2x + z)。观察(y = -2x + z)，它是斜率固定为(-2)，在(y)轴上的截距为(z)，随(z)变化的一族互相平行的直线。并且变形前后直线的截距就是(z)，所以当截距最大时，(z)最大。
接着，画出(y = -2x + z)这一族互相平行的直线中的一条特殊直线，令(z = 0)，得到直线(L_0)：(y = -2x)。进一步平移(y = -2x)，并与可行域保持有公共点。通过图像观察，当这条直线过可行域中的点(A)时，直线的截距最大。点(A)是由直线(y = -1)与直线(x + y = 1)相交所得，所以点(A)的坐标可由(\begin{cases}y = -1 \ x + y = 1\end{cases})联立方程组求得。经计算，(A)点坐标为((2, -1))，此为最优解。将最优解代入目标函数(z = 2x + y)中，得到(z)的最大值为(3)。
下面来看线性规划在实际中的一些问题。学习数学方法主要是为了解决实际问题。来看例1：营养学家指出，成人良好的日常饮食应至少提供(0.075)千克的碳水化合物、(0.06)千克的蛋白质、(0.06)千克的脂肪。(1)千克食物(A)含有(0.105)千克碳水化合物、(0.07)千克蛋白质、(0.14)千克脂肪，花费(28)元；(1)千克食物(B)含有(0.105)千克碳水化合物、(0.14)千克蛋白质、(0.07)千克脂肪，花费(21)元。为满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物(A)和食物(B)各多少千克？
对于条件复杂的题目，我们通过设置表格来梳理条件。设同时食用食物(A)(x)千克，食物(B)(y)千克，总成本为(z)，则目标函数为(z = 28x + 21y)。
根据题目条件，至少需要(0.075)千克碳水化合物，可得(0.105x + 0.105y \geq 0.075)；至少需要(0.06)千克蛋白质，可得(0.07x + 0.14y \geq 0.06)；至少需要(0.06)千克脂肪，可得(0.14x + 0.07y \geq 0.06)。又因为是实际问题，(x \geq 0)，(y \geq 0)。对不等式组系数化简后得到：(\begin{cases}7x + 7y \geq 5 \ 7x + 14y \geq 6 \ 2x + 7y \geq 6 \ x \geq 0 \ y \geq 0\end{cases})
通过以上分析，设置了变量(x)、(y)和(z)，得到目标函数和约束条件，这是本节课的难点。本题求目标函数(z)的最小值。
第一步，设每天使用(x)千克食物(A)，(y)千克食物(B)，总成本为(z)，目标函数(z = 28x + 21y)。然后作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域。先画出边界(7x + 7y = 5)、(7x + 14y = 6)、(2x + 7y = 6)，再根据(x \geq 0)，(y \geq 0)确定可行域范围。
接着，将目标函数(z = 28x + 21y)变形为(y = -\frac{4}{3}x + \frac{z}{21})，这是一组斜率为(-\frac{4}{3})，随(z)变化的平行直线。令(z = 0)，画出这条特殊直线。要使(z)最小，即求这条直线与可行域相交后截距最小的直线。通过观察图像可知，平移(28x + 21y = 0)，当经过点(M)时，截距最小，(M)即为最优解。
点(M)是由直线(2x + 7y = 6)与(7x + 7y = 5)相交得到，联立方程组(\begin{cases}7x + 7y = 5 \ 2x + 7y = 6\end{cases})，解得(x = \frac{1}{7})，(y = \frac{4}{7})。
把(M)点坐标代入目标函数，得到(z)的最小值为(16)。最后回答问题：每天食用食物(A)约(143)克（(\frac{1}{7}\times1000\approx143)），食物(B)约(571)克（(\frac{4}{7}\times1000\approx571)），就能满足日常饮食要求，且花费最低，最低成本为(16)元。
通过例1，展示了线性规划解决实际问题的完整过程，难点在于设置变量并通过已知条件得到目标函数和约束条件。下面看例2：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一车皮甲种肥料需要磷酸盐(4)吨，硝酸盐(18)吨，利润(1)万元；生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐(1)吨，硝酸盐(15)吨，利润(0.5)万元。现库存磷酸盐(10)吨，硝酸盐(66)吨。分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生多大利润？