师：今天我们一起来学习基本不等式第二课时。首先，回顾一下上节课内容。我们学习了基本不等式：对于两个正数(a)、(b)，(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})，即两个正数的几何平均数不超过它们的算术平均数，当且仅当(a = b)时，等号成立。
我们还学习了一个重要不等式：若(a)、(b \in R)，那么(a^2 + b^2 \geq 2ab)，当且仅当(a = b)时，等号成立。要注意，这两个不等式等号成立的条件相同，但(a)、(b)的取值范围不同。基本不等式使用的前提是(a > 0)，(b > 0)；而重要不等式使用的前提是(a)、(b)属于一切实数(R)。
今天这节课，我们主要学习怎样利用基本不等式去求函数的最值。下面看第一个问题：用篱笆围一个面积为(100)平方米的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆是多少？
在这个问题中，已知矩形面积为(100)平方米，求篱笆周长。我们只需要知道矩形的长宽就能求出篱笆周长。因此，假设矩形的长宽分别为(x)米、(y)米。依照题意有(xy = 100)平方米，周长可表示为(2(x + y))。因为(x > 0)，(y > 0)，所以(\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy})，进而(2(x + y) \geq 40)。当且仅当(x = y)时，式中的等号成立，此时(x = y = 10)。所以，当这个矩形的长与宽都是(10)米时，它的周长最短，周长是(40)米。在这个问题中，我们找到了(xy)与(x + y)之间的关系，已知(xy)是定值(100)，求出了(2(x + y))的最小值。
请大家再看第二个问题：一段长为(36)米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园的面积最大？面积是多少？
在这个问题中，已知篱笆周长是(36)米，要求菜园面积。同样，只要知道矩形的长宽就能求出菜园面积。我们同样假设矩形的长宽分别为(x)米、(y)米。按照题意，矩形的周长是(36)，所以(2(x + y) = 36)，即(x + y = 18)。
矩形的面积可表示为(xy)。因为(\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2})，所以(\sqrt{xy} \leq 9)，将这个正值不等式两边平方得到(xy \leq 81)。当且仅当(x = y)时，式中等号成立，此时(x = y = 9)。也就是说，当这个矩形的长与宽都是(9)米时，它的面积最大，最大值是(81)平方米。
第二个问题中，我们已知(x + y)是定值(18)，求出了(xy)的最大值。根据以上两个问题的学习，大家能不能总结出一定的规律？思考一下下面两个问题：
第一个问题，若(xy)是定值(p)，则当且仅当什么时，和(x + y)有什么样的最值？
由基本不等式(\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2})，变形可得(x + y \geq 2\sqrt{xy})。因为(xy)是定值，所以(x + y \geq 2\sqrt{p})。当且仅当(x = y)时，和(x + y)有最小值(2\sqrt{p})。用一句话形容这个规律，叫做“积定和最小”。
请看第二个问题，若和(x + y)是定值(s)，那么乘积(xy)有什么样的最值呢？
由(\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2})两边同时平方，可得(xy \leq (\frac{x + y}{2})^2 = \frac{s^2}{4})，即(\frac{s^2}{4})就是(xy)的最大值。当且仅当(x = y)时，积(xy)有最大值(\frac{s^2}{4})。用一句话概括这个规律，即“和定积最大”。
现在我们知道，利用基本不等式求最值，必须和为定值或乘积为定值才能求最值。下面来看这个条件在实际问题中的应用。请看例一：某工厂要建造一个长方体形的无盖蓄水池，其容积为(4800)立方米，深为(3)米。如果池底每平方米的造价为(150)元，池壁每平方米的造价为(120)元，怎样设计水池能使总造价最低？总造价是多少？
在这个问题中，已知水池容积以及深度，要求总造价，必须求出长方体底面积与侧面积。若已知长方体的长和宽，就能求出底面积和侧面积。因此，假设它的长是(x)，宽为(y)，并且假设水池总造价为(z)，水池的总造价等于池底造价与池壁造价之和，即(z = 150×\frac{4800}{3} + 120×(2×3x + 2×3y))，化简得出(z = 240000 + 720(x + y))。
注意到这里已知蓄水池容积为(4800)立方米，深度为(3)米。根据体积公式，(3xy = 4800)，即(xy = 1600)。
在总造价(z)中含有(x + y)，现在已知(xy = 1600)，即“积定和最小”。(240000 + 720(x + y) \geq 240000 + 720×2\sqrt{xy})，(z \geq 297600)。当且仅当(x = y = 40)时，等号成立。所以，将水池底面设计成边长为(40)米的正方形时，总造价最低，总造价是(297600)元。这个问题充分体现了“积定和最小”这样一个规律。
那么在使用基本不等式求最值时，除了要注意定值这个条件以外，还需要注意什么样的条件呢？下面再看这样一个问题，例2：求下列函数的最值。
第一题：已知(x > 0)，求(y = x + \frac{1}{x})的最小值。