师：各位同学大家好，前面我们花了两节课时间学习了如何解一元二次不等式。这节课，我们将在此基础上继续学习一元二次不等式及其解法。请看例一，解关于(x)的不等式：(-x^2 + 5x > 6)。请同学们回顾一下，解一元二次不等式的一般步骤是什么？
生：第一步，将不等式化为标准式，通常把二次项系数化成正；第二步，计算判别式，分析一元二次方程根的情况；第三步，根据二次函数图像的特征写出二次不等式的解集。
师：非常好。根据这样的求解过程，我们来看例一具体该如何操作。首先对不等式进行整理，求出所对应方程的根(2)和(3)，进而可以画出二次函数的图像。由于不等式是小于(0)的，所以取(x)轴下方图像所对应的(x)范围，这样就可以写出解集，应该是(2)到(3)之间。做一个小结，从这道题我们可以看出，一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间有紧密的联系。具体到这道题，我们可以发现不等式解集的两个端点(2)和(3)，恰好是所对应方程的两个根，也是二次函数的两个零点。那这里面哪一步最关键呢？
生：画出二次函数图像。如果能够将二次函数图像画出来，就能看出它所对应的解集。
师：没错。这道题所有的系数都是具体数字，如果把某些数字变成字母，它就变成了含参数的二次不等式。我们该如何解决含参数的二次不等式呢？请同学们看变式一，解关于(x)的不等式：(x^2 - (a + 3)x + 3a < 0)，(a \in R)。虽然它是含参数的一元二次不等式，但依然是一元二次不等式，我们还是可以用前面的步骤来解决。首先对不等式进行整理，这里采用十字相乘法，得出方程的两根是(a)和(3)，这样也就得出二次函数的零点是(a)和(3)。那能否根据现有的条件画出二次函数的图像呢？
生：答案是否定的，因为(a)的大小不确定，所以图像也不确定。
师：对，下面我们需要对(a)进行探讨。如何探讨？讨论的目的又是什么呢？其实对于含参数的一元二次不等式问题，讨论的目的一般来说都是确定二次函数的图像，进而从图像看出解集。既然明确了目标，现在将本题中的二次函数做更一般化的思考。对于一般形式的二次函数，确定其图像需考虑哪些基本要素呢？
生：开口方向、判别式的大小、两根的大小以及对称轴的位置。
师：对于本题，开口方向是确定的，向上；判别式不确定，有可能大于(0)，有可能等于(0)；两根大小不确定；对称轴位置也不确定。这一题有这么多基本要素都不确定，我们该怎么去探讨？这里面有没有哪些要素是关键性的？或者说谁是必不可少的，谁是可有可无的呢？我们画一个图像大家感受一下。比如说如果(a)大于(3)，大家可以发现在这种情况下，判别式就固定了大于(0)，对称轴的位置也固定了在(3)和(a)之间。所以这三个要素中，两根的大小关系是关键性的要素。当两根大小确定以后，判别式和对称轴就隐藏在这个两根大小之中。所以接下来我们只需对两根大小关系做讨论即可。我们分三种情况：(a)大于(3)、(a)等于(3)和(a)小于(3)。当(a)大于(3)时，函数图像可以画出来，从图像可以看出，它的解集是(3)到(a)；如果(a)小于(3)，画出图像得出解集；(a)等于(3)时，画出图像可以看出解集是空集。最后把这个过程再加以罗列，按照从小到大的顺序做一个总结，含参数的二次不等式讨论问题，其关键是确定二次函数的图像。一般从四个角度进行考虑，分别是开口方向、判别式的符号、两根大小（当然前提是有根）、对称轴的位置。分析出确定二次函数图像的关键要素是分类讨论的核心点。下面看另一道题，解关于(x)的不等式：(ax^2 - (a + 3)x + 3 < 0)，(a \in R)。这道题和上道题有一个不同点，它的二次项系数有参数，那这个不等式一定是一元二次不等式吗？
生：答案是否定的，如果(a = 0)的话，它就是一元一次不等式。
师：所以我们首先要讨论(a = 0)的情况。如果(a = 0)，不等式可以化简为(-3x + 3 < 0)，这样可以解得(x)大于多少？
生：(x > 1)。
师：(a \neq 0)时，这是一个一元二次不等式，我们可以将左边进一步变形。利用十字相乘法可以得出((x - 1)(ax - 3) < 0)。由于(a \neq 0)，我们把这个(a)进一步提出来，目的是为了待会求这个方程的根的时候方便。很显然方程的根一个是(1)，另一个是(\frac{3}{a})，这样我们就可以得出它所对应的二次函数的零点就是(1)和(\frac{3}{a})。那能否画出这个图像呢？
生：很显然是不可以的，因为(a)是参数。
师：下面我们还是回到分析确定二次函数的要素上来。对于本题具体来说，开口不确定，判别式的符号也不确定，两根大小不确定，对称轴的位置也不确定，它有四个不确定因素，我们该如何探讨？这里面谁又是关键性的要素？
生：开口方向影响最后的图像，所以开口方向我们是要探讨的。根据上一题的讨论，我们知道两根大小确定以后，判别式和对称轴就自然地固定了，所以本题我们只需要讨论开口方向和两根大小即可。
师：但是现在有两个要素是不确定的，我们如何有条理地去探讨这个问题呢？这地方有一个重要的思想，那就是我们抓其中一个作为分类标准。所以本题我们可以从两个角度来进行思考，既可以从开口方向来进行思考，也可以从两根大小来进行讨论。先看第一种方法，如果按开口方向进行讨论，我们需要分开口向上还是向下。当(a > 0)时，开口向上，在这种情况中要进一步探讨两根谁大谁小，分三种情况。第一种，如果(\frac{3}{a} < 1)，可以解出(a > 3)，我们可以画出二次函数图像，从图像可以看出，它的解集是(\frac{3}{a})到(1)之间；如果(\frac{3}{a} > 1)，解出(a < 3)，画出图像，从图像观察出解集是(x)大于(1)小于(\frac{3}{a})；如果两根相等，即(a = 3)时，画出图像，从图像可以看出，解集是空集。当(a < 0)，开口向下时，此时(\frac{3}{a})这个根是负的，它比(1)小，这样也可以画出图像，从图像可以得出解集是(x)小于(\frac{3}{a})或者(x)大于(1)。最后我们将这个结果进行罗列，按照从小到大的顺序，看看是否有重复，是否有遗漏。这是我们的第一个角度，这一题也可以从根的大小关系来进行讨论，那此时我们需要分三种情况。第一种，当(\frac{3}{a} > 1)时，可以解出(a)是大于(0)小于(3)，此时开口向上，进而得出解集是(x)大于(1)小于(\frac{3}{a})；如果两根相等，解出(a = 3)，开口向上得出解集为空集；如果(\frac{3}{a} < 1)，解出(a < 0)或(a > 3)，那这个地方(a < 0)和(a > 3)，它们的开口是不一样的，所以我们要继续来分类讨论。如果(a < 0)，开口向下；(a > 3)，开口向上，这样我们同样可以得出它所对应的图像。这个答案和刚刚是一致的。做一个小结，当二次函数有多个要素不确定时，讨论时分类标准要明确，一般是将其中一个要素作为分类标准。第二，无论是把谁作为分类标准，我们都要做到不重不漏。刚刚这组题都是知识的正向应用，那下面我们来看知识的逆向应用，也就是给我们不等式的解集，我们要求相应的参数的范围或者值。已知不等式(ax^2 + bx - 1 \geq 0)的解集是(3 \leq x \leq 4)，求实数(a)、(b)的值。
生：根据题意，我们首先尝试画图，这是条件所对应的大致图像。从图像可以发现，(3)和(4)是对应二次函数的两个零点，进而可以得出(3)和(4)是对应方程的两个根，并且从图像可以发现开口是向下的，也就是说最后的(a)是小于(0)的。
师：非常好，我们计算一下，根据韦达定理解出(a = -\frac{1}{12})，(b = \frac{7}{12})，确实(a)是负的，和图像一致。本题的关键就是抓住二次不等式与二次方程和二次函数它们之间的紧密联系来解题。再看一题，已知不等式(ax^2 + ax + 4 \geq 0)的解集为(R)，求实数(a)的取值范围。本题中二次项系数有参数，所以首先要对二次项系数是否为(0)做探讨。如果(a = 0)，不等式变成(4 \geq 0)，解集当然是(R)，符合题意。(a \neq 0)时，此时不等式是一元二次不等式。这里面(a)是不确定的，我们该如何去探讨？我们还是来分析二次函数图像确定的要素，本题中哪些是固定的，哪些是变化的，哪些是关键要素？
生：开口方向是不确定的，判别式也不确定，两根大小不确定，对称轴位置是(-\frac{1}{2})是确定的。
师：那这一题谁是关键性的要素？
生：开口方向、判别式，因为判别式到底正还是负没法确定，所以判别式也是关键性的要素。两根大小由于判别式的符号不定，所以两根大小也不定。
师：所以这题我们主要讨论开口方向和判别式的符号，从这两个角度来探讨问题。接下来我们抓住其中一个作为标准，比如说以开口方向作为它的标准。如果(a > 0)，我们可以画出其中一个图像，那这个图像只有怎么样才能满足不等式的解集为(R)？
生：通过画图发现，只有当这个图像与(x)轴没有交点或者有一个交点时是符合题意的，也就是说此时的判别式是小于等于(0)，这样可以解出(a)大于等于(0)，小于等于(4)。最后可以得出(a)是大于(0)，小于等于(4)。
师：如果(a < 0)，开口向下，我们画出其中一个图形，当这个图在移动过程中有没有符合题意的情况呢？
生：可以发现，无论这个图像怎么移动，它都不符合题意。
师：最后综上得出(a)是大于等于(0)，小于等于(4)，这组题是二次不等式知识的逆向应用。最后我们来看实际应用，请同学们自己读题、审题分析。对于实际问题有一个基本的步骤，首先将实际问题转化为数学问题，再通过推理演算得出数学问题的解，最后还原成实际问题的解。那对于这个题，如何将实际问题转化为数学问题呢？我们抓住这里面的一句关键的话，这种车的刹车距离大于(39.5)。刹车距离指的是(s)，所以这里的(s > 39.5)，这样我们就可以建立出一个不等关系。我们看一下过程，首先设刹车前的车速为(x)，根据题意得出(s > 39.5)，这是一个关于(x)的一元二次不等式。我们根据前面的知识首先进行整理，两个根分别约等于(-88.94)、(79.94)，这个可以通过求根公式以及计算器求得。画出函数的图像，从图像可以观察出解集是(x < -88.94)或(x > 79.94)，那最后答案是不是就是这个范围呢？如何将数学问题的解还原成实际问题的解呢？
生：这里要特别注意到，(x)指的是刹车前的车速，它隐藏着(x > 0)，所以本题答案应该是至少(79.94)，把负的舍去。
师：请同学们自己读题、审题分析，如何将这个问题转化为数学问题。我们抓住这句话，这条流水线创收(6000)元以上，创出的价值是(y)，所以(y > 6000)，这样就可以建立出一个数量关系。首先假设在一个星期内大约应该生产(x)辆摩托车，根据刚刚的分析得出(y > 6000)，写出所对应的方程的根是(50)和(60)，画出函数图像，从图像可以看出，解集是大于(50)，小于(60)。最后把数学问题的解还原成实际问题的解。本题中由于(x)指的是摩托车的数量，它是一个非负的整数，所以我们应该取这个范围内的整数。所以最后摩托车数量应该是在(51)到(59)辆之间的时候，这家工厂能够获得(6000)元以上的收益。最后做一个小结，这节课我们学习了三种题型，分别是正向应用、逆向应用和实际应用；两种重要的思想方法，数形结合、分类讨论；一个关键，那就是二次函数的图像。今天的课就上到这，谢谢同学们观看。