师：同学们好，本节课我们继续学习人教A版必修5第一章解三角形。首先，我们对上一节课所学知识做个简要回顾。上节课我们探究发现了正弦定理，即在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即(a\div\sin A = b\div\sin B = c\div\sin C)。课后探究又发现，这三个分式的值等于三角形外接圆的直径(2R)，(R)为外接圆半径。同时，我们探究了两类可解三角形：两角和一边，以及两边与其中一个对角。其中，第二类情况稍复杂，解的个数可能是无解、一个解或两个解，大家要重点关注。
接下来，我们从一个情境开始本节课的学习。大家应该都听说过商合杭高铁，即将全面通车的它大大拉近了城市间的距离。在建设过程中，宣城市郎溪县境内要挖掘一段青龙山隧道。如果把隧道口的(A)点、(B)点定在山两侧，在平地上选一个合适测量点(C)，若能测量出(\angle ACB = 60^{\circ})，(AC = 330)米，(BC = 215)米，大家能不能帮测量人员算出隧道(AB)的长度呢？这是个实际问题，本质就是解三角形问题。
我们看这个探究中已知的元素，(AC)、(BC)以及(\angle C)，这是两边一夹角的问题。上节课我们没探究过这种已知元素的三角形求解，现在能不能用已学知识解决呢？上节课学了正弦定理，不妨看看正弦定理能否解决这种两边加两边夹角的问题。结合已有元素，我们可以选正弦定理中(AC\div\sin B = BC\div\sin A)这个等式。把已知量代入，得到(330\div\sin B = 215\div\sin A)。此时等式中有两个未知元素，它们有关系吗？有，因为已知(\angle C = 60^{\circ})，结合三角形内角和定理，可用(\angle B)表示(\angle A)，即(\angle A = 120^{\circ} - \angle B)，代入刚才的等式。现在等式就只含一个未知元素了。
那么如何解出(\angle B)呢？我们可以结合上学期学的两角差的正切公式，展开右侧分式分母。经过一系列代数化简，得到(165\sqrt{3}\cos B = 50\tan B)。再结合同角三角关系，最终得到(\angle B)的正切值为(\frac{33}{10\sqrt{3}})。
其实这时(\angle B)已解决，但我们这个问题不关心(\angle B)具体度数，所以用同角三角关系进一步解出(\angle B)的正弦值，再结合上节课的正弦定理，就能解出隧道(AB)的长度。问题解决了，说明像这种两边加两边夹角的三角形，也能用正弦定理求解，只是求(\angle B)的过程有点坎坷，要用到三角函数知识，对大家要求较高。既然求(\angle B)麻烦，我们能不能设想，不通过求角直接求出隧道(AB)的长度呢？为方便后续研究，我们重新绘制问题中的三角形，大家思考一下。
不求角，就意味着不用正弦定理。没了正弦定理，边与角的关系就有限了。面对这个非特殊三角形，怎么解出(AB)边长度呢？这种局面我们不陌生，回想上节课在锐角三角形中证明正弦定理成立的方法。
我想有的同学想起来了，当时我们把锐角三角形分割成两个直角三角形，让探究得以解决。现在也面临同样局面，是不是也能尝试这种操作呢？考虑到题目给的角是(\angle C)，我们可以过点(B)作边(AC)的垂线。根据数据可知(\angle A)是锐角，所以垂足落在(AC)线段内部。此时三角形被分成两个直角三角形，要求的(AB)长度在右侧直角三角形中充当斜边，我们可以尝试解出右侧三角形的两条直角边。
看看题目条件，(\angle C)已知，(BC)长度已知，左侧直角三角形显然可解。解出(BD)、(CD)，又因为(AC)长度已知，就能解出(AD)长度。最后在右侧直角三角形中用勾股定理，就能解出线段(AB)的长度。我们把分析过程呈现给大家。
最后的结果和刚才第一种方法的探究一致。通过两种方法对比，发现方法一用正弦定理可行，但过程繁琐；方法二简洁，不用求其他元素，能直达结果，相对更好。我们反思一下方法二，它很方便地用三角形两边及两边夹角表示出了第三条边。也就是说，三角形三边及其中一角之间存在定量关系，这正是我们本章感兴趣的目标。不妨用特殊到一般的探究方法，看看这个问题背后藏着什么信息。
我们看这样一个探究，在(\triangle ABC)中，已知边(a)、边(b)以及它们的夹角(C)，求边(c)。类比刚才具体问题的探究方法，过点(B)作线段(AC)的垂线，垂足为(D)。大家想想，点(D)的位置一定在线段(AC)内部吗？这种情况似曾相识，因为不知道(\angle C)是什么角，所以要结合(\angle C)分类讨论垂足(D)的位置。大家在草稿纸上分析一下，需要分多少类研究。
通过画图分析，我们要分(5)种情况讨论，分别是(\angle C)为直角、锐角、钝角时的情况。其中(\angle C)为锐角时，还要结合(\angle A)是锐角、直角还是钝角再分三小类，总共(5)类。我们依次看看这(5)类对应的探究结果。
第一类，当(\angle C)为直角时，用勾股定理可建立边(a)、边(b)与斜边(c)的关系，即(c^{2} = a^{2} + b^{2})。
第二类，与刚才具体探究问题类似，把具体数字换成相应字母，过程类似，可得出三边及(\angle C)之间的关系式(c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C)。
第三类，同样是直角三角形，用勾股定理得到三边关系(c^{2} = a^{2} - b^{2})。
第四类，当垂足(D)在(CA)延长线上时，有两个直角三角形叠加在一起。用锐角三角函数分别解出相关线段长度，在大直角三角形中，用(\angle C)的正弦和余弦解出(BD)、(CD)。因为(AC)已知，可得(AD = a\cos C - b)。最后在右侧小直角三角形中用勾股定理解出(AB)长度，结果和第二种情况一致。