师：各位同学，上午好！很高兴有机会和大家共同探讨第三章第四节基本不等式。在学习前，看屏幕上这个旋转风车，它源于2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标。这个旋转的风车展现了我国人民的热情好客，而该会标是根据我国古代数学家赵爽的赵爽弦图设计的。本节课，我们先共同探讨赵爽弦图在数学学习中的应用价值。观察发现，赵爽弦图由四个全等的直角三角形拼接成一大一小两个正方形。为方便研究，记直角三角形的两条直角边长分别为(a)、(b)。由勾股定理可知，直角三角形的斜边，也就是大正方形的边长为(\sqrt{a^{2} + b^{2}})。大家能从这个图案中找到一些不等关系吗？提示一下，可以从面积入手。
我们可以比较大正方形的面积与四个直角三角形的面积之和的大小关系，能得到怎样的不等关系呢？很容易知道，大正方形的面积为(a^{2} + b^{2})，每个直角三角形的面积是(\frac{1}{2}ab)，那么四个直角三角形的面积之和就是(2ab)。通过图形直观看到，大正方形面积比四个直角三角形面积之和大，因为它们相差一个小正方形的面积，其代数表达式为(a^{2} + b^{2} > 2ab)。这时出现一个问题，该不等式的等号能否成立呢？
首先通过图形做初步研究，看这个动画。再看一例，大家会发现，当正方形(EFGH)缩为一点时，大正方形的面积恰好等于4个直角三角形的面积之和。那么通过图形变化，同学们想想，当该不等式取等号时，(a)、(b)有怎样的代数关系呢？会发现在这个小图中，4个直角三角形恰好都是等腰直角三角形，直角边(a)、(b)长度相同，也就是说等号成立的条件是(a = b)。通过研究可知，上面的不等式等号可以成立，且等号成立的条件是(a = b)。这样我们就得到一个重要不等式(a^{2} + b^{2} \geq 2ab)，同学们能证明一下这个不等式吗？
生：（思考、证明）
师：好，相信大部分同学已经证明出来了，应该是用做差法。两边做差得(a^{2} + b^{2} - 2ab = (a - b)^{2})，这个式子大于等于(0)恒成立，这样就证明出了该重要不等式。从证明过程可知，不等号成立的条件是(a - b = 0)，也就是(a = b)时等号成立，所以可以加上“当且仅当(a = b)时，等号成立”这句话。我们刚刚通过面积得出重要不等式(a^{2} + b^{2} \geq 2ab)，面积中(a > 0)，(b > 0)，在实际应用中，(a < 0)，(b < 0)时，是否满足该不等式呢？
其实通过证明过程会发现，该不等式成立只需((a - b)^{2} \geq 0)就可以，而((a - b)^{2} \geq 0)对于任意实数(a)、(b)显然成立。所以该不等式的适用范围可以拓展为全体实数。总结一下，一般地，对于任意实数(a)、(b)，总有(a^{2} + b^{2} \geq 2ab)，当且仅当(a = b)时，等号成立，适用范围(a)，(b \in R)。这个重要不等式的文字语言可以描述为：两数的平方和不小于它们积的两倍。
对于这个重要不等式(a^{2} + b^{2} \geq 2ab)，对任意实数(a)、(b)都成立。我们能否对它稍作变换，以新的形式呈现呢？当(a > 0)，(b > 0)时，用(\sqrt{a})、(\sqrt{b})分别替换(a)、(b)，会得到怎样的结论呢？将得到(a + b \geq 2\sqrt{ab})这样一个不等式。在数学中，通常把它写作(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})，此时(a > 0)，(b > 0)。同样，这个不等式等号何时成立呢？
生：等号成立的条件应该是(\sqrt{a} = \sqrt{b})，即(a = b)时等号成立。
师：对，这样我们就得到了一个不等式(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})，(a > 0)，(b > 0)，当且仅当(a = b)时，等号成立。这个不等式就是本节课要学习的基本不等式，适用范围是(a > 0)，(b > 0)。同学们能证明一下这个基本不等式吗？
生：（思考、证明）
师：相信已经有同学通过做差法证明出来了，一起来分析证明过程。因为(a > 0)，(b > 0)，要证(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})，将左右两边同时乘以(2)，只需证(a + b \geq 2\sqrt{ab})，只需证((\sqrt{a})^{2} - 2\sqrt{ab} + (\sqrt{b})^{2} \geq 0)，也就是只需证((\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} \geq 0)，这显然成立，这样就证明出了基本不等式。
数学中，把(\frac{a + b}{2})称作正数(a)、(b)的算术平均数，(\sqrt{ab})称作正数(a)、(b)的几何平均数。那么基本不等式的文字语言可以说：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，所以基本不等式也称均值不等式。我们从代数角度了解了基本不等式，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”数与形是数学两个最古老也是最基本的研究对象。同学们能从几何角度解释一下基本不等式吗？来看这样一个图形。
(AB)是圆(O)的直径，(O)为圆心，点(C)是(AB)上一点，(AC)长度为(a)，(BC)长度为(b)。过(C)点作垂直于(AB)的弦(DE)，分别连接(AD)、(BD)、(OD)。首先探讨(OD)和(CD)长度的大小关系。第一步，怎么用(a)、(b)表示(OD)呢？因为(AB)是圆的直径，等于(a + b)，(OD)是圆的半径，所以(OD = \frac{a + b}{2})。同样，怎么用(a)、(b)表示(CD)呢？同学们思考一下。
生：部分同学可以通过初中的射影定理直接得出(CD)的长度，也可以通过相似三角形来求。图形中含(C)、(D)的两个直角三角形相似，(\triangle ACD \sim \triangle DCB)，所以(\frac{BC}{DC} = \frac{DC}{AC})，即(DC^{2} = BC \times AC = ab)，得到(CD = \sqrt{ab})。
师：同学们思考一下，(OD)与(CD)的大小有什么关系呢？怎么通过图形解释？
生：通过动图发现，无论(C)点在(AB)上任何位置，(OD)的长度始终大于等于(CD)的长度，即(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})。
师：对，那什么时候取等号呢？
生：当(C)点与(O)点重合时，(CD)与(OD)的长度恰好相等，此时(AC = BC)，即(a = b)时，等号成立。
师：(OD)是圆的半径，(CD)是圆弦长的一半，所以基本不等式的几何解释可以表述为：圆的半径不小于弦长的一半。我们之前研究出了它的代数意义，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。大家还能从其他角度解释基本不等式吗？
生：可以从数列角度，(\frac{a + b}{2})可以看作正数(a)、(b)的等差中项，(\sqrt{ab})是正数(a)、(b)的等比中项。从数列角度解释基本不等式就是：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
师：很好，我们通过多个角度了解了基本不等式。接下来看一个例题，已知(ab > 0)，求(\frac{b}{a} + \frac{a}{b})的最小值。
我们发现(\frac{b}{a})与(\frac{a}{b})的乘积是定值，要求二者之和的最小值，很多同学想到了基本不等式。由基本不等式得(\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{a} \times \frac{a}{b}} = 2)，这样的解题过程有问题吗？
生：基本不等式的适用范围是两个正数，所以在使用基本不等式解决该问题时，需提前证明(\frac{b}{a})与(\frac{a}{b})为正值。因为(ab > 0)，所以(a)、(b)同号，即(\frac{b}{a} > 0)，(\frac{a}{b} > 0)。同时，使用基本不等式要注意等号成立的条件，当且仅当(\frac{b}{a} = \frac{a}{b})时，等号成立，所以(\frac{b}{a} + \frac{a}{b})的最小值是(2)。
师：接着来探究，求证(a^{2} + b^{2} \geq \frac{(a + b)^{2}}{2})。
很多同学会通过将不等式左右两边同时乘以(2)，然后直接作差证明该不等式。因为(2(a^{2} + b^{2}) - (a + b)^{2})，做差化简得到((a - b)^{2})，((a - b)^{2} \geq 0)恒成立，所以该不等式得证。同样要注意，当且仅当(a = b)时等号成立。同学们除了做差，还可以通过其他方法证明吗？
生：通过观察发现，左边是平方和，右边的分子展开后含有乘积的形式，似乎和重要不等式(a^{2} + b^{2} \geq 2ab)有关系。右侧分子是(a^{2} + b^{2} + 2ab)，可以将重要不等式左右两侧同时加上(a^{2} + b^{2})，左侧变为(2(a^{2} + b^{2}))，大于等于右侧(a^{2} + b^{2} + 2ab)，右侧可化简为((a + b)^{2})，左右两侧同时除以(2)，就证得该式，当且仅当(a = b)时，等号成立。
师：同学们，继续探究。若(a)、(b)、(c)是不全等的实数，求证(a^{2} + b^{2} + c^{2} > ab + bc + ca)。
我们本节课学习的两个不等式都只有两个变量，而此题有三个变量，该怎么研究呢？其实也可以两个变量地研究。大家看有三个不等式：(a^{2} + b^{2} \geq 2ab)，(a^{2} + c^{2} \geq 2ac)，(b^{2} + c^{2} \geq 2bc)。
再次强调等号成立的条件不可少，三个不等式等号成立的条件分别是当且仅当(a = b)、(a = c)、(b = c)时等号成立。此时将上面三个同向不等式相加，得(2(a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2(ab + bc + ca))，当且仅当(a = b = c)时，等号成立。题目中(a)、(b)、(c)为不全等的实数，所以等号不可能成立，因此(a^{2} + b^{2} + c^{2} > ab + bc + ca)，等号不能取到。
这节课我们学习了两个不等式，重要不等式(a^{2} + b^{2} \geq 2ab)，基本不等式(\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2})。要注意，重要不等式的适用范围是(a)，(b \in R)，基本不等式的适用范围是(a > 0)，(b > 0)。同时，两个不等式等号成立的条件都是当且仅当(a = b)时等号成立。
在下节课的学习中，我们将学习如何使用这两个不等式求解一些函数的最值问题。今天的作业是：一、教材第100页习题(A)组的第2题；二、拓展作业，请同学们通过网络查找一下基本不等式有没有其他的几何解释。
今天的课就上到这里，同学们再见。