师：同学们好。这节课我们继续学习高中数学，人民教育出版社A版必修5第二章第二节——等差数列。首先，我们一起回顾上节课所学内容。上节课，我们学习了等差数列的概念：一般地，一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，这样的数列称为等差数列，这个常数叫做公差，该概念可用(a_{n}-a_{n - 1}=d)这个递推关系表示。同时，我们还学习了等差中项的概念，由(a)、(A)、(b)组成的等差数列可看作最简单的等差数列，这时(A)称作(a)与(b)的等差中项，即(A = \frac{a + b}{2})，也可得到(2A = a_{n + 1} + a_{n - 1}) 。
在概念学习基础上，我们通过迭代和累加两种方法，得到了等差数列的通项公式(a_{n}=a_{1}+(n - 1)d)，也能得出(a_{n}=a_{m}+(n - m)d)。同时，利用递推的两种形式的通项公式，我们还得到了求公差的几种方法，分别是(d = a_{n}-a_{n - 1})，(d = \frac{a_{n}-a_{1}}{n - 1})，(d = \frac{a_{n}-a_{m}}{n - m}) 。
此外，我们学习了判断一个数列是否为等差数列的方法：定义法，判断数列是否满足(a_{n}-a_{n - 1}=d)，若满足则该数列为等差数列；递推法，判断数列是否满足(2a_{n}=a_{n + 1}+a_{n - 1})，若满足则该数列为等差数列；通项公式法，判断数列的通项公式能否写成(a_{n}=pn + q)的形式，若能则该数列为等差数列。最后，我们从函数角度认识了等差数列，发现其通项公式可写成一次型函数的形式。
好，这节课我们从几个有趣的问题开始。
问题组一：
第一个问题，从等差数列({a_{n}})中抽出所有下标为奇数的项，依序组成一个新数列，这个数列是等差数列吗？如果是，首项和公差分别是什么？同学们不难发现，抽出的项依次是(a_{1})、(a_{3})、(a_{5})、(a_{7})，一直到(a_{2n - 1})。可以判断出它是一个等差数列，首项是(a_{1})，公差是(2d)。
第二个问题，从等差数列({a_{n}})中抽出所有下标为偶数的项，依序组成一个新数列，这个数列是等差数列吗？如果是，首项和公差分别是什么？经过第一个问题的分析，我们可以发现抽出的项依次是(a_{2})、(a_{4})、(a_{6})、(a_{8})，一直到(a_{2n})，可以判断出它是一个等差数列，首项是(a_{2})，公差是(2d)。
第三个问题，你能列举出其他的方式吗？同学们可以仿照前两个问题构造一些新的数列。老师给大家提供一种方式：在等差数列({a_{n}})中，从第(k)项起，每间隔(m)项取出一项，依次是(a_{k + m})、(a_{k + 2m})、(a_{k + 3m})等等，依序组成一个新的等差数列，首项是(a_{k})，公差是(md)。同学们思考的取出下标能被(3)整除的项，或取出下标除以(3)余(1)的项，以及老师举的前两个例子，都可以概括成这种方式。
问题组二：
第一个问题，对于等差数列({a_{n}})，(k)为常数，则数列({ka_{n}})是等差数列吗？如果是，首项和公差分别是什么？数列({ka_{n}})的含义是把数列({a_{n}})的每一项都乘上同一个数值(k)，它的项依次是(ka_{1})、(ka_{2})、(ka_{3})、(ka_{4})等等。可以判断出它是一个等差数列，首项是(ka_{1})，公差是(kd)。
第二个问题，等差数列({a_{n}})，(m)为常数，则数列({a_{n}+m})是等差数列吗？如果是，首项和公差分别是什么？数列({a_{n}+m})表示把数列({a_{n}})的每一项都加上同一个数值(m)，该数列的项依次是(a_{1}+m)，(a_{2}+m)，(a_{3}+m)，(a_{4}+m)等等，不难判断出它也是一个等差数列，首项是(a_{1}+m)，公差是(d)。
第三个问题，你能列举出其他的方式吗？同学们思考一下，老师给大家提供一种方式：对于等差数列({a_{n}})，(k)、(m)为常数，则数列({ka_{n}+m})是等差数列，首项是(ka_{1}+m)，公差是(kd)。也就是说，把数列({a_{n}})的每一项都乘上同一个常数(k)，再加上同一个常数(m)，依然可以得到一个新的等差数列。
问题组三：
第一个问题，数列({a_{n}})、({b_{n}})公差分别为(p)、(q)，则数列({a_{n}+b_{n}})是等差数列吗？如果是，首项和公差分别是什么？数列({a_{n}+b_{n}})的项是把等差数列({a_{n}})与({b_{n}})相同下标的项加在一起，列举出来依次是(a_{1}+b_{1})、(a_{2}+b_{2})、(a_{3}+b_{3})、(a_{4}+b_{4})等等。可以判断出这个数列是一个等差数列，首项是(a_{1}+b_{1})，公差是(p + q)。
第二个问题，你能列举出其他的方式吗？同学们思考一下，可以把前面所说的几种构成方式组合在一起。老师给大家提供一种方式：对于等差数列({a_{n}})、({b_{n}})，公差分别为(p)、(q)，(k)、(m)为常数，则数列({ka_{n}+mb_{n}})是等差数列，首项是(ka_{1}+mb_{1})，公差是(kp + mq)。这个构成方式是把两个等差数列({a_{n}})、({b_{n}})相同下标的项分别乘上常数(k)和常数(m)，再加在一起构成一个新数列，它的项依次是(ka_{1}+mb_{1})，(ka_{2}+mb_{2})，(ka_{3}+mb_{3})，(ka_{4}+mb_{4})等等，可以判断出它是一个等差数列。
好，以上我们探讨了多种利用等差数列构造新等差数列的方式。老师的问题来了：你能证明上述结论吗？数学是一门严谨的学科，刚才我们提出问题并做出判断，但都未经过证明，仅停留在猜想阶段。如何证明呢？利用上节课所学判断数列是否为等差数列的方法即可完成。老师以其中一个为例进行证明，同学们课后可以利用上节课内容，不仅证明老师提出的各种猜想，也可以证明自己提出的猜想。
例如，对于等差数列({a_{n}})、({b_{n}})，公差分别为(p)、(q)，(k)、(m)为常数，证明数列({ka_{n}+mb_{n}})是等差数列，首项是(ka_{1}+mb_{1})，公差是(kp + mq)。我们用定义法证明，只需验证({ka_{n}+mb_{n}})这个数列的第(n)项减去第(n - 1)项是一个常数。它的第(n)项是(ka_{n}+mb_{n})，第(n - 1)项是(ka_{n - 1}+mb_{n - 1})。将通项公式代入并整理，可算出这个差值是(kp + mq)，它是一个与(n)无关的常数，所以数列({ka_{n}+mb_{n}})是等差数列，首项是(ka_{1}+mb_{1})，公差是(kp + mq)。