师：同学们大家好，欢迎走进今天的数学课堂。这节课我们继续对人教A版必修5第三章不等式进行小结与复习。前面已有老师对不等式的前三节进行了整理和复习，今天我们主要对第四节基本不等式进行专题复习。首先回顾这部分知识内容。
一、重要不等式。若(a)、(b\in R)，那么(a^{2}+b^{2}\geq2ab)，当且仅当(a = b)时，等号成立。怎么证明呢？对，通过比较法，用左式减右式来证明。
二、基本不等式。在重要不等式中，当(a)、(b\gt0)时，用(\sqrt{a})替换(a)，(\sqrt{b})替换(b)，再整理不等式形式，可得：若(a)、(b\gt0)，则(\sqrt{ab}\leq\frac{a + b}{2})，当且仅当(a = b)时，等号成立。这里，(\sqrt{ab})称为正数(a)、(b)的几何平均数，(\frac{a + b}{2})称为算术平均数。基本不等式用文字语言叙述就是：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。
借助复习的知识，来看个问题：判断两个不等式是否成立。第一个，若(a\gt0)，(b\gt0)，则(a + b\geq2\sqrt{ab})。从刚回顾的基本不等式，两边同时乘以正数(2)再整理，就能得到，所以它成立。第二个，由基本不等式(\sqrt{ab}\leq\frac{a + b}{2})，因为两边都是正数，结合不等式性质中的乘方法则，也能得出这个不等式成立。
这两个都可作为基本不等式的变形式。从变形能发现，对任意两个正数(a)和(b)，它们的和与积建立了不等关系。对于第二个不等式，还能将(a)、(b)的范围推广，若(a)、(b\in R)，则(ab\leq(\frac{a + b}{2})^{2})。这些都可作为解决相关问题的基础。
基本不等式在哪些数学问题中能应用呢？先看例一，若(a\gt b\gt1)，给出(P)、(Q)、(R)，判断它们的大小关系。从条件看，(a)、(b)都大于(1)且(a\gt b)，这三个式子中(\log_{a})与(\log_{b})显然都大于(0)，又因为(a)、(b)不相等，所以(\log_{a})与(\log_{b})也不相等。(P)是正数(\log_{a})和(\log_{b})乘积的算术平方根，(Q)是(\log_{a})和(\log_{b})的算术平均数。(P)相当于是几何平均数，(Q)相当于是算术平均数。根据基本不等式，(Q)和(P)的大小很容易判断。那剩余字母间大小关系怎么判定呢？看(Q)，(\log_{a} + \log_{b})利用运算性质可变成(\log_{(a\times b)})，再把(\frac{1}{2})乘到对数的真数上，变成(\log_{\sqrt{ab}})。这样(Q)与(R)中的对数底数相同，真数一个是(\frac{a + b}{2})，一个是(\sqrt{ab})，可用基本不等式比较后面两个的大小关系。
解答如下：因为(a\gt b\gt1)，所以(\log_{a}\gt\log_{b}\gt0)。对于(Q)，根据基本不等式，(Q\gt\sqrt{\log_{a}\times\log_{b}})，由于(\log_{a})与(\log_{b})不相等，所以没有等号，得出(Q\gt P)。对(Q)变形，可写成(\log_{\sqrt{ab}})。根据基本不等式，(a)、(b)不相等时，(\sqrt{ab}\lt\frac{a + b}{2})，再利用对数函数的单调性，可得(\log_{\sqrt{ab}}\lt\log_{\frac{a + b}{2}})，即(R)，所以(Q\lt R)。综上，(P\lt Q\lt R)。从这个问题可看出，借助基本不等式能比较一些代数式的大小关系，主要体现基本不等式的放缩特征，让两个正数的和与积建立不等关系，本题就是利用这种不等关系比较大小。要注意，比较时根据条件，留意等号条件能否满足。
基本不等式还能在哪些数学问题中应用呢？看不等式证明问题。已知(a)、(b)、(c)为不全相等的正实数，求证(a + b + c\gt\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})。观察待证不等式，左边是三个字母的和，右边是三个根式的和，每个根式涉及两个字母的乘积。左右两边运算有差异，左边只有和，右边涉及积，而基本不等式可让正数的和与积建立联系，所以考虑用基本不等式证明。
证明过程：因为(a\gt0)，(b\gt0)，(c\gt0)，所以(a + b\geq2\sqrt{ab})，同理(b + c\geq2\sqrt{bc})，(c + a\geq2\sqrt{ca})。将这三个式子两边相加，得到(2(a + b + c)\geq2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}))，两边同乘(\frac{1}{2})，整理成(a + b + c\geq\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})。这里得到的结论和要证明的结论有差异，就是等号问题。这个不等式由上面三个不等式相加得到，等号成立条件是上面三个不等式等号同时成立，即(a = b)，(b = c)且(c = a)，也就是(a = b = c)。但条件中(a)、(b)、(c)是不全相等的实数，所以等号不能同时成立，从而证明本题结论成立。在证明过程中多次使用基本不等式，要注意等号成立条件能否满足。另外，证明时通过分析不等式左右两边差异，结合差异和所学知识，选择应用基本不等式，这个差异主要体现在字母运算上。
请同学们判断下面三个结论是否成立。
第一个，函数(y = x + \frac{1}{x})的最小值是(2)。若根据基本不等式，当(x\gt0)时能得到(y\geq2)。但题目没指明(x)范围，其定义域是(x\neq0)的实数集合。若(x)取负数，函数值也是负数，所以该函数最小值为(2)这个结论错误。
第二个，函数(y = x + \frac{1}{x - 1})，(x\gt1)时，函数最小值是(2\sqrt{\frac{x}{x - 1}})吗？函数最值是一个常量，用含字母(x)的形式表示最值显然错误，所以第二个问题也不对。