师：同学们，大家好，我们又见面了。欢迎再次走进数学课堂。之前我们已经学习了三角形中的正弦定理、余弦定理，并做了一些应用。今天，我们将在此基础上，共同探究解三角形的进一步问题。首先，我们一起回顾下已学内容。正弦定理指在三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，用符号语言如何表示呢？
正弦定理：(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}) 。
余弦定理指在三角形中，任意边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦乘积的两倍。用符号语言表示为：
(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A) ；
(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B) ；
(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C) 。
既然探讨解三角形的相关问题，我们来看一个具体问题。已知在(\triangle ABC)中，(a = 22)厘米，(b = 25)厘米，(\angle A = 133^{\circ})，解这个三角形。解三角形就是在三角形中已知部分边角元素，求出其他元素的过程。现在已知(a)边、(b)边和(\angle A)，显然还需求出(\angle B)、(\angle C)以及(c)边。怎么求？先求哪个呢？当已知两边和一边对角时，我们可能会想到用正弦定理来解决。
根据正弦定理(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B})，可得(\sin B = \frac{b\sin A}{a})，代入数据计算出结果约等于(0.831)。因为(B)的取值范围是大于(0^{\circ})小于(180^{\circ})，所以(\angle B)约等于(56.21^{\circ})或者(\angle B = 123.79^{\circ})。
求出(\angle B)后，接下来求哪个元素呢？对，求(\angle C)。借助三角形内角和定理(\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ})，在这两种情况下分别求出(\angle C)，一个是(180^{\circ} - 133^{\circ} - 56.21^{\circ} = -9.21^{\circ})，另一个是(180^{\circ} - 133^{\circ} - 123.79^{\circ} = -76.79^{\circ})。我们求出了负角，这是怎么回事呢？是已知条件有问题吗？在三角形中，大边对大角，此问题中(b)边比(a)边长，所以(\angle B)应大于(\angle A)，但在同一个三角形中不可能出现两个内角都是钝角，这就产生了矛盾。由此可见，满足已知条件的三角形不存在。
那么，在三角形中已知两边和其中一边对角的条件下，某些情形时三角形无解，这种条件下解三角形的问题需要进一步探讨。接下来看，如果已知(a)边、(b)边和(\angle A)，能否对三角形解的个数进行讨论呢？从刚才的解题过程可知，先根据正弦定理得到(\sin B = \frac{b\sin A}{a})，算出(\sin B)后求出内角(B)，再依据内角和定理求出(\angle C)，最后根据正弦定理求出边(c)。解的个数问题可能出在哪里呢？从刚才分析可知，(\angle B)的大小很关键，它的情况决定了三角形解的个数，该如何分析讨论呢？刚才研究的是(\angle A)为钝角的情况，首先来看当(\angle A)是钝角或者直角的情况，此时(\angle A)是三角形中的最大内角，归为一类。
若在该条件下(a\leq b)，那么(\angle B\geq\angle A)，因为(\angle A)已经是钝角或直角，所以此时三角形不存在，即无解。若(a > b)，那么(\angle B < \angle A)，(\sin B)所对应的(\angle B)只能取一个锐角的值，此时三角形有一解。这两种情况可借助图形直观演示。
怎么做呢？先做出(\angle A)，画出(\angle A)的邻边(b)，确定顶点(C)的位置。接着做(a)边，以(C)为圆心，(a)为半径画圆，探讨它与(\angle A)所对边的公共点个数。第一种情况，如果(a\leq b)，所画圆弧与(\angle A)对边无公共点，对应的三角形无解。第二种情况，如果(a > b)，此时所画圆与(\angle A)对边产生唯一公共点，对应的三角形有一个解。
如果(\angle A)是锐角呢？先看(a\geq b)的时候，因为(a\geq b)意味着(\angle B\leq\angle A)，由(\sin B)求出的(\angle B)只能取一个锐角，此时三角形只有一个解。同样可以用图形展示，构造锐角(\angle A)，做出边(b)，确定顶点(C)，以(C)为圆心，(a)为半径画圆，当(a\geq b)时，该圆与(\angle A)对边会产生唯一公共点，所以对应的三角形有一个解。
再看(a < b)的情况。做出锐角(\angle A)，确定顶点(C)位置，以(C)为圆心，(a)为半径画圆，看点(C)到对边的距离，根据锐角三角函数，这个距离大小是(b\sin A)，这里要进一步对(a)与(b\sin A)的大小进行分析。
如果(a > b\sin A)，所画圆与(\angle A)对边会形成两个不同公共点，这时对应的三角形有两解，一个是锐角三角形，一个是钝角三角形。如果(a = b\sin A)，所构造的圆与(\angle A)对边产生唯一公共点，且这个三角形是直角三角形，对应的有一个解。如果(a < b\sin A)，所画圆与(\angle A)对边没有公共点，所对应的三角形无解。
综合以上分析，在已知两边及一边对角的情形下，可借助正弦定理并结合大边对大角来判定三角形解的个数，也可通过构造图形的方法，先画出已知角，确定其邻边，再以顶点为圆心，已知角对边为半径画圆，看圆与所对边公共点的个数，公共点个数决定解的个数。
来看一个具体问题。在(\triangle ABC)中，已知(a = 9)，(b = 10)，(\angle A = 60^{\circ})，判断这个三角形解的个数。若用正弦定理处理，求出的(\sin B = \frac{5}{9}\sqrt{3})，数据处理有难度。能否用构造图形的方法判定呢？这里(\angle A)是锐角，且(a)边比(b)边小，属于刚才讨论的情况。先计算(b\sin A = 10\times\sin60^{\circ}=5\sqrt{3})，此时满足(b\sin A < a < b)，即(5\sqrt{3} < 9 < 10)。做出(\angle A)，确定顶点(C)位置，(C)到对边的距离是(5\sqrt{3})，(a)边比(5\sqrt{3})大，比(AC)边（即(b)）小，所画圆与(\angle A)对边有几个公共点呢？对，有两个。结合图形，可判断符合条件的三角形有两个。
这种方法关键在于构造已知图形，通过尺规作图确定解的个数。同学们想一想，还有其他方法处理这个问题吗？在三角形中，余弦定理反映了三条边和其中一个内角余弦值的数量关系。已知(a)边、(b)边和(\angle A)，能否利用余弦定理得到第三条边(c)所满足的等式关系呢？
根据余弦定理(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A)，代入数据可得(c^{2}-10c + 19 = 0)，可把它看成关于变量(c)的二次方程。利用初中知识可知，其判别式(\Delta = (-10)^{2}-4\times19 = 100 - 76 = 24 > 0)，结合韦达定理，两根之和(10 > 0)，两根之积(19 > 0)，这表明关于(c)的这个二次方程有两个不同的正根（其实也可算出根，不过这里只需判断根的个数）。不同的(c)对应不同的三角形，所以符合条件的三角形有两个。
我们发现不仅正弦定理可以解决，余弦定理也能解答，它把三角形解的个数判定转化成与第三条边有关方程正根的问题。梳理一下这个过程，如果用余弦定理判断，首先设第三条边为(x)，根据余弦定理建立关于(x)的方程，整理成一般形式，再计算二次方程对应的判别式。若判别式小于(0)，方程无解，即没有这样的三角形；若判别式大于或等于(0)，方程有解，此时还要看正解个数，因为解是(c)边，必须是大于(0)的实数。
方程有两个不同正根，等价于三角形有两解；方程只有一个正根，等价于三角形只有一解；方程没有正根，三角形无解，这可作为判断方式。接下来，请同学们利用所学知识进行具体操作。
第一，已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，若有解，有几个解？
（1）(c = 10)，(b = 20)，(\angle C = 80^{\circ})。
利用正弦定理算出(\sin B = \frac{b\sin C}{c} = 2\sin80^{\circ})。因为(\sin80^{\circ} > \sin60^{\circ})，所以(2\sin80^{\circ} > \sqrt{3})。根据三角函数性质，不存在这样的角(B)，对应的三角形不存在，即无解。用图形展示，构造(80^{\circ})的角(C)，确定邻边(b)，以(A)为圆心，(10)为半径画圆，(A)到(C)所对边的距离是(20\sin80^{\circ})，显然比(10)大，所画圆与角(C)的对边没有公共点，对应三角形无解。
（2）(b = 2\sqrt{3})，(a = 6)，(\angle B = 30^{\circ})。
从题目数据出发，利用条件计算出(\sin A = \frac{a\sin B}{b} = \frac{6\times\sin30^{\circ}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2})。这个值比较熟悉，同学们可分析出此时(\angle A = 60^{\circ})或(120^{\circ})，都满足大于(\angle B)的条件，所以三角形有两解。
从图形角度看，做出已知角(B)，确定顶点(C)位置，(C)到对边的距离是(a\sin B = 6\times\sin30^{\circ}=3)，(3 < 2\sqrt{3})，以(C)为圆心，(2\sqrt{3})为半径所画的圆必然与它所对的边有两个不同公共点，对应三角形的两个解。
对于第二个问题，同学们可能还会想到其他办法。比如根据已知条件，借助余弦定理建立第三条边(c)所满足的二次方程。容易得到方程的解为(c_1 = 4\sqrt{3})，(c_2 = 2\sqrt{3})，由此可判定它所对应的三角形有两解。
这样，在已知两边及其中一边对角的情况下，我们可以利用正弦定理、余弦定理从不同角度对三角形解的个数进行分析。下面老师变一变问题，在(\triangle ABC)中，已知(a = x)，(b = 2)，(\angle B = 45^{\circ})，若三角形有两个解，(x)的取值范围是多少呢？这依然是已知两边及其中一边对角的情况，只不过是给出三角形解的个数，反过来求边(a)的取值范围。
我们构造出已知角(B)，确定(C)位置，(C)到对边的距离为(x\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}x)。若三角形有两解，即以(C)为圆心，以(b)为半径画圆，应与(C)对边形成两个不同公共点，结合图形可知，只要满足(x > 2)且(x < \frac{2}{\sin45^{\circ}} = 2\sqrt{2})，即(2 < x < 2\sqrt{2})，就可得到(x)的范围。
当然，还可以思考其他方法。设未知边(c)为(y)，根据余弦定理建立关于(y)的方程，整理成(y^{2}-\sqrt{2}xy + x^{2}-4 = 0)，把(x)当成常量，(y)作为变量，此式是关于(y)的二次方程。要使三角形有两个解，关于(y)的这个二次方程要有两个不同正根，需同时满足：方程的判别式(\Delta = (\sqrt{2}x)^{2}-4(x^{2}-4) > 0)，两根之和(\sqrt{2}x > 0)，两根之积(x^{2}-4 > 0)。解这个关于(x)的不等式组，可得(2 < x < 2\sqrt{2})，同样得到(x)的取值范围。
这两个方法都可行，此时同学们可以思考，如果把条件改为三角形有唯一解或者无解，(x)的取值范围又如何呢？请同学们课后思考。
好，我们对今天的内容做个小结。在三角形中，已知两边及其中一边对角，如何判断三角形解的个数？通过今天的学习，发现从正弦定理和余弦定理出发都能做到。从正弦定理出发，思路是借助正弦定理算出(\sin B)，再结合大边对大角确定(\angle B)，这个过程也可用图形方法解决。另一种是借助余弦定理建立第三条边所满足的二次方程，利用方程正根个数确定三角形解的个数。一种体现了数形结合，另一种体现了方程思想。
同学们明白了吗？最后留一个思考题，在本节课研究的已知两边及其夹角的一边对角的情况下，能否想到其他办法判断三角形解的个数？欢迎同学们课后积极思考。好，感谢同学们的收看，再见。