师：同学们好，今天我们一起来学习人教A版教材必修5第一章解三角形。首先，我们来看几张图片。嫦娥奔月是中国家喻户晓的神话故事，透露着古人们对月亮的无限憧憬。月亮离我们很远，但早在公元前3世纪，古希腊天文学家就测量出了它与地球之间的距离。他们是怎么测量的呢？
这张图片是坐落在安徽芜湖的天门山景区，诗仙李白曾在此留下千古绝句《望天门山》，“天门中断楚江开”，指的就是图中东梁山与西梁山被长江一江相隔，宛如一道天门。那么，你能测量出东梁山与西梁山之间的距离吗？
这张图片是芜湖方特主题乐园拥有的亚洲最大的全木质过山车，巧夺天工，惊险刺激，你能测量出它的最大高度吗？
刚才我们结合图片都提出了同一个问题——测量。究竟如何测量这些不可及物体的高度、长度、跨度呢？其实在生产生活的很多方面都有这样的测量需求，比如天文测量、航海测量、地理测量等等。正是这些实践活动的推动，一类数学理论得到了不断发展，让看似不可能的测量变成了现实。那是什么数学理论呢？这就是我们接下来要学习的解三角形。
那么，解三角形到底是什么呢？我们把三角形的三个内角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素，求其他几个元素的过程就叫做解三角形。简而言之，解三角形就是求三角形的边和角。
有的同学可能会想，解三角形我们初中就学过呀。的确，我们之前学过一些三角形的相关知识，不妨在此简要回顾一下。
我们知道，任何三角形由三边围成，有三个内角，这三个内角的和为180度，这是定量关系，能帮我们知二求一。三条边之间有任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的关系。边与角之间有大边对大角、小边对小角的对应关系。后两种关系属于定性关系，一般不能直接帮我们解出三角形元素的值。除此之外，我们还在直角三角形中利用锐角的三角函数研究过一些边与角的关系。比如，当角C为直角时，锐角A的正弦值等于a/c，锐角B的正弦值等于b/c，直角的正弦值等于1。但这些边角关系只局限于直角三角形，光有这些知识，不便于解一些非特殊的三角形，所以我们还要探究能在任意三角形中成立的边角关系。
该怎么开始探究呢？万事开头难，不妨这样想，如果存在这样的边角关系，在直角三角形中也应具备。所以，我们再看看已掌握的边角关系，或许能找到探究方向。sinC的值等于1，先不管它，看前面两个正弦值，发现这两个等式中都有相同元素边c。也就是说，这两个等式有关系，通过简单代数变形可知，前面边c等于a/sinA，后面边c等于b/sinB，显然可联立出一个连等式。
大家有没有这样的想法，如果sinC分母上也加上一个sinC，这个等式是不是看起来更工整呢？能不能加呢？其实sinC值刚好等于1，也就是说，我们可以将这三个角的正弦值联立得到这样一个连等式。当直角三角形的角C为90度时，这个等式恒成立。其实，令角A或角B为直角，在直角三角形中这个等式仍然成立。即，在任意直角三角形中，这个连等式均恒成立，这是边与角的定量关系。
我们大胆猜想，这个连等式在锐角三角形、钝角三角形中是否也能成立呢？如果成立，就为解三角形提供了有利依据。说到这，有的同学可能想用特殊三角形的值代入这三个分式进行验证，看看是否相等。
为了大家能快速完成验证过程，我们借助计算机帮忙。我在几何画板中设置好了几个按钮，第一个按钮可实时测量三角形三边长度，第二个按钮可测量三个内角度数，第三个按钮可计算边与其对角正弦的比值。图中这个三角形，三个比值均为13.51。我们拖动三角形，看看形状改变时，三组比值有什么规律。
大家看，当改变三个顶点相对位置时，这三个比值虽不断变化，但始终保持相等。我们换顶点C再看看，发现不管三角形是锐角还是钝角，它们的值始终相等。通过上述验证，这个等式在任意三角形中似乎能成立，但还不能下最终定论，还需严格数学证明。该如何证明呢？不妨先在锐角三角形中看看。
由等式由来可知它是联立结果，要证明它，不妨先证明这两个式子同时成立。
先看左边分式，为什么在锐角三角形中a/sinA与b/sinB的值始终相等呢？思路可能受阻，既然分式看不出来，不妨将分式变成整式形式，再结合三角形ABC观察。对于这个等式，左边a乘sinB和右边b乘sinA，在三角形中能否找到特殊含义？看边a是左侧角B的对边，那么a乘sinB不刚好是AB边上的高CD的长度吗？同时，b乘sinA也代表CD的长度。通过等量代换，就能证出a sinB等于b乘sinA，上面这个分式就得到了证明。左边等式能证出，可类比左边方法完成右边等式的证明。
结合刚才分析，完整做一下证明过程。首先过点C作AB边上的垂线，垂足为D。在左侧直角三角形CBD中，利用锐角B的正弦可知CD的值等于a乘sinB。在右侧直角三角形CDA中，用角A的正弦可得出CD等于b乘sinA。联立就能知道a乘sinB等于b乘sinA，这样就得到这个等式成立。过点A再做BC边上的高，同理可证出b/sinB等于c/sinC，所以这个等式在锐角三角形中始终成立。
反思这个过程，我们是怎样突破难点的呢？最重要一步是过点C做AB的垂线，把锐角三角形分解成两个直角三角形，结合直角三角形中的边角关系解决问题。这体现了数学中转化与划归的思想，将锐角三角形转化成直角三角形，化一般为特殊，这种思想方法今后探究还会频繁用到，大家要好好体会。
实际上，用类似方法可证明在钝角三角形ABC中，结论也成立，这一过程留给同学们课后完成。到此，我们确定这个恒等式在任意三角形中均能成立。这是解三角形这一章得到的第一个普遍性结论，我们叫它正弦定理。
正弦定理的文字叙述是：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。代数表达方式就是这个等式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
从不同角度欣赏正弦定理，对于等式中的三个分式，始终是各边与其对角的正弦相对应，体现了数学公式的对称美，便于记住正弦定理内容。从结构上看，正弦定理的等式是连等式，可同时导出三个成立的等式，每个等式均含有四个元素，两边加上两边的对角。从方程角度，能帮我们完成知三求一，这正是解三角形所需的。