师：同学们好，今天我们来共同学习 2.1 数列的概念与简单表示法第一课时。我们先来看三个情境。
情境一，传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们用沙滩上画点或小石子表示数字。第一幅图数字是 1，第二幅图是 3，第三幅是 6，第四幅是 10。按照图中各小正方形个数的变化规律，大家能猜测出第 5 幅图形中小正方形的个数吗？
生：在第五幅图是在第四幅图基础上，下面再加一行，这一行有 5 个数，所以第五幅图形中小正方形的个数应该是 15。
师：没错，这些数可以用三角形点阵表示，所以称其为三角形数。那请同学们看看下图中各正方形分别表示哪些数？这些数与相应正方形的序号有什么关系？
生：这里表示的数分别是 1、4、9、16。这些数与相应正方形序号的关系是，此数等于序号的平方。
师：非常好，这些数能够表示成正方形，故称为正方形数。接下来看情境二，国王邀请阿凡提进入皇宫比赛，并自信地表示如果阿凡提赢了，想要什么都可以。阿凡提说如果他赢了，就用国际象棋棋盘的格子，按照第一个格子里放一粒麦子，第二个格子里放两粒麦子，第三个格子里放 4 粒麦子，以此类推，以后每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的两倍，直到放满 64 个格子。大家认为国王有能力满足阿凡提的要求吗？这里涉及到的数字，第一个格子 1 粒，第二个格子 2 粒，第三个格子是 2 的平方粒，第四个格子是 2 的三次方粒，一直到第 64 个格子里面应该放 2 的 63 次方粒。把它们加起来，以每千克小麦约 25000 粒计算，约等于很多吨。以 2019 年全世界粮食总产量 66384 万吨计算，相当于全世界 1111517.5 年的粮食总产量。现在请同学们观察下面各列数，看看它们有什么共同特点。
第一个，三角形数 1、3、6、10；第二个，正方形数 1、4、9、16；第三个，2 的 0 次方，2 的一次方，2 的二次方，一直到 2 的 63 次方；第四个，1、1、2、3、5、8、13；第五个，1、1、1、1；第六个，1、2、3、4 一直到 10；第七个，10、9、8、7 一直到 1；第八个， -1、2、 -1、2。
生：这 8 列数都是按照一定的次序排列在一起的。
师：非常棒，这就是我们这节课要学习的数列。按照一定顺序排列的一列数被称为数列，大家一定要注意这个顺序。数列中的每个数字被称为数列的项。排在第一位的数被称为数列的首项，排在第 m 位的数被称为第 m 项。比如第 8 列数中的 2，它是第 4 项。那同学们思考一下，第六列和第七列数相同吗？1、2、3、4 到 10 这十个数，10、9、8、7 到 1 这十个数，这两列数具体的数一样，但有什么不同呢？
生：它们顺序不同。
师：对，因为数列是按一定顺序排列的一列数，所以这两列数不同，不同的原因就在于顺序。那数列与数集的区别是什么呢？在集合中，元素有三个性质，确定性、互异性、无序性。数列与数集关键点在于数列是有序的，数列的项可以相同。那上述数列可以如何分类呢？
生：如果按照项数分类，数列的项数是有限个，就称为有穷数列；如果数列的项数是无穷多个，则被称为无穷数列。问题一中的 3、6、7 是有穷数列，1、2、4、5、8 为无穷数列。
师：很好，除此分类方法之外，还有其他分类方法吗？我们还可以按照数列中项的大小分类，有递增数列，后一项比前一项大；常数数列，比如刚才数列中的 1、1、1、1；递减数列，后一项数比前一项数要小；摆动数列，比如 -1、2、 -1、2。由此，1、2、3、6 是递增数列，5 是常数数列，7 是递减数列，8 是摆动数列。我们学习了数列的定义，明确了数列的分类，那数列可以如何表示呢？类比函数，大家回忆一下函数的表示方法有哪些？
生：有解析法、图像法、列表法。
师：那数列一般可以写成(a_1)、(a_2)、(a_3)，一直到(a_n)，简记为({a_n})。其中(a_n)叫做数列的第(n)项，当然这里用小写的字母(b)，写成(b_1)、(b_2)、(b_3) ，或者用小写的字母(c)，写成(c_1)，(c_2)，(c_3) 也是可以的。在情境 3 中数列的项与序号之间的关系可以用一个式子来表示吗？情境 3 中涉及到的数列是 2 的 0 次方，2 的一次方，2 的平方一直到 2 的 63 次方。它所对应的项是(a_1)是 2 的 0 次方，(a_2)是 2 的一次方，(a_3)是 2 的平方，一直到(a_{64})是 2 的 63 次方，共 64 个数。它所对应的序号是 1 对应 2 的 0 次方，2 对应 2 的一次方，3 对应 2 的平方，64 对应 2 的 63 次方。我们可以发现 2 的 63 次方中的幂指数 63 = 64 - 1，2 的平方的幂指数 2 等于 3 - 1。结合以前学习到的指数函数的特点，可以写出(a_n = 2^{n - 1})，(n)属于正整数，且(n\leq64)。这里的序号(n)与项(a_n)之间有一个确定的关系，是一对一的，这与我们在必修一所学的函数是否相同呢？这里的序号相当于函数中的自变量，这里的项是函数值，在数列中，我们把这个式子称为这一个数列的通项公式。如果我们已知了数列的通项公式，就可以求出这个数列中的任意一项。只需要将这里的(n)换成具体数即可。比如说我们求它的第 10 项(a_{10}) ，(n)取 10 的时候，(a_{10} = 2^{9})，它等于 512。那什么是数列的通项公式呢？