师：同学们大家好，今天我们一起来学习必修5第三章第一节不等关系与不等式的第二课时。在第一课时，我们学习了如何用不等式或不等式组表示不等关系，以及用做差法比较两个实数的大小。这节课我们继续学习不等式的知识，了解不等式的有关性质。
首先看性质一：如果a大于b，那么b小于a；如果b小于a，那么a大于b，即a大于b等价于b小于a 。性质一表明把不等式的左右两边交换位置，所得不等式与原不等式反向，这一性质也被称作不等式的对称性。
接着看性质二：如果a大于b，b大于c，那么a大于c，即a大于b，b大于c，可以推出a大于c 。我们来证明这条性质，由a大于b可得a减b大于0，由b大于c可得b减c大于0，于是（a - b） + （b - c）大于0，所以a - c大于0，即a大于c 。性质2也可以表示为，如果c小于b，b小于a，那么c小于a，该性质也被称作不等式的传递性。
再看性质三：如果a大于b，那么a + c大于b + c 。同学们，你们能证明这条性质吗？我们可以用做差法来证明，（a + c） - （b + c） = a - b ，由a大于b，可得a - b大于0，所以（a + c） - （b + c）大于0，即a + c大于b + c 。性质3表明不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向，该性质也被称作不等式的可加性。
关于性质3还有这样的几何意义：把数轴上两个点a与b同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点A?与B? ，a与b和A?与B?的左右位置关系不会改变。我们来看性质3的推论，如果a + b大于c，那么a大于c - b 。根据性质，在不等式a + b大于c的左右两边同时加上 - b，即可得a大于c - b 。一般地说，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边，性质3的推论也被称作不等式的移项法则。
继续看性质四：如果a大于b，c大于0，那么ac大于bc；如果a大于b，c小于0，那么ac小于bc 。我们也用做差法证明，ac - bc = c（a - b），由a大于b，可得a - b大于0，所以只需关注c的正负号。当c大于0时，c（a - b）大于0，所以ac - bc大于0，即ac大于bc；当c小于0时，c（a - b）小于0，所以ac - bc小于0，即ac小于bc 。性质4表明不等式的两边都乘以同一个正数，所得不等式与原不等式同向；都乘以同一个负数，所得不等式与原不等式反向，该性质也被称作不等式的可乘性。使用不等式可乘性处理不等式问题时，一定要注意同乘的数是正数还是负数。如果同乘的是正数，所得不等式和原不等式同向；如果同乘的是负数，所得不等式与原不等式反向。
接着看性质5：如果a大于b，c大于d，那么a + c大于b + d 。同学们考虑一下怎么证明这一性质？同样可以用做差法，（a + c） - （b + d），我们将它变形为（a - b） + （c - d），因为a大于b，所以a - b大于0；因为c大于d，所以c - d大于0，所以（a - b） + （c - d）大于0，所以（a + c） - （b + d）大于0，即a + c大于b + d 。除了用做差法，还有其他证明方法吗？我们要比较a + c和b + d的大小，是否可以找到一个数，比a + c小，但比b + d大呢？根据这一思路，因为a大于b，利用不等式的可加性可得a + c大于b + c；因为c大于d，同样利用不等式的可加性可得c + b大于d + b 。所以根据不等式的传递性，可得a + c大于b + d 。性质5表明两个同向不等式相加，所得不等式和原不等式同向，该性质也被称作不等式的同向可加性。
接着看性质6：如果a大于b大于0，c大于d大于0，那么ac大于bd 。能否仿照不等式同向可加性的第二种证明思路加以证明呢？是否可以找到一个数比ac小，比bd大？因为a大于b，c大于0，所以ac大于bc；因为c大于d，b大于0，根据不等式的可乘性可得cb大于db 。所以根据不等式的传递性可得ac大于bd 。性质6表明两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式和原不等式同向，该性质也被称作不等式的同向可乘性。特别要注意，使用同向可乘性的前提是两个同向不等式两边均为正数。
继续看性质7：如果a大于b大于0，那么a的n次方大于b的n次方，其中n属于自然数集，n大于等于1 。根据性质6，将n个a大于b大于0这样两边都是正数的同向不等式相乘，即可得a的n次方大于b的n次方。性质7表明，当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方，所得不等式和原不等式同向，该性质也被称作不等式的乘方法则。
接着看性质8：如果a大于b大于0，那么a的n次方根大于b的n次方根，其中n属于自然数集，n大于等于2 。如何证明性质8呢？注意到开方是乘方的逆运算，我们是否可以借助性质7来证明？假设a的n次方根小于等于b的n次方根，即a的n次方根等于b的n次方根或者a的n次方根小于b的n次方根。根据性质7和根式的性质可以得到a = b或a小于b 。这些均与a大于b大于0矛盾，所以假设不成立，所以a的n次方根大于b的n次方根。性质8表明当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时开方，所得不等式和原不等式同向，该性质也被称作不等式的开方法则。