师：各位同学，大家好，这节课我们继续复习第二章数列。在第二章数列中，我们学习了很多公式，比如等差数列、等比数列的通项公式以及它们的前n项求和公式。我们还利用$S_{n}$求出了通项公式$a_{n}$。另外，在一些非等差数列、非等比数列的数列求和中，我们学习了分组求和、裂项相消和错位相减法等求和方法。下面，我们通过一些具体例题来巩固这些公式和方法。
首先看第一个例题。在正向等比数列${a_{n}}$中，$a_{1}=2$，$a_{3}=a_{2}+4$，求${a_{n}}$的通项公式。第一小题求通项公式，和我们第一节课讲的基本运算有关。大家看，在这个通项公式中，已知首项$a_{1}=2$，还缺什么？对，缺等比数列的基本量公比$q$。那么这个公比可以从哪个条件得到呢？从$a_{3}=a_{2}+4$这个方程中，用$a_{1}$和$q$来表示。因为$a_{1}$已知，这个方程就可以转化为关于$q$的一元二次方程。我们很容易求出$q$有两个值，一个是$2$，另一个是$-1$。但题目中说这是正向等比数列，所以公比$q$只能取$2$。
首项知道，公比也知道，该数列通项公式很快就能求出来，是$a_{n}=2\times2^{n - 1}=2^{n}$。当我们求出第一问${a_{n}}$的通项公式后，来看第二问。第二问中又给出一个特殊数列${b_{n}}$，它的首项是$1$，公差是$2$。我们要求的新数列是${a_{n}+b_{n}}$这种和的形式的前$n$项和。
这种求和方法怎么求呢？${a_{n}}$是特殊数列，${b_{n}}$也是特殊数列，它们各自的前$n$项和利用公式法很快就能求出来。这样，新数列$S_{n}$的前$n$项和就可以转化成等比数列${a_{n}}$的前$n$项和与等差数列${b_{n}}$的前$n$项和的和的形式。很快就能求出$S_{n}$，等比数列${a_{n}}$的前$n$项和用公式$\frac{2(1 - 2^{n})}{1 - 2}$，等差数列${b_{n}}$的前$n$项和是$n\times1 + \frac{(n - 1)\times2}{2}$。化简后可得$S_{n}=2^{n + 1}+n^{2}-2$。
大家看，这是什么方法呢？对，是分组求和。同学们思考一下，如果这里的加号改为减号，它的前$n$项和是不是也能很快求出来？因为${a_{n}}$和${b_{n}}$都已知，中间无论是加号还是减号，都可以采用分组求和。也就是说，当一个数列的通项由两个或多个等差、等比的和差形式组成时，这个数列的前$n$项和就可以通过分组求和来完成。这难度系数不大，接下来看看还有什么特别有意思的求和方法。
例2。已知等差数列${a_{n}}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}$，数列${b_{n}}$是等比数列，并且$a_{1}=2b_{1}$，$b_{1}b_{2}=\frac{1}{8}$。我们要求数列${a_{n}}$和${b_{n}}$的通项公式。我们发现，数列${a_{n}}$给出的条件是前$n$项和$S_{n}=n^{2}$，根据这个条件怎么求它的通项公式呢？同学们应该想到$a_{n}$和$S_{n}$的关系。当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}$，这样可以算出$n\geq2$时的$a_{n}$。但这个通项公式只是$n\geq2$时的，我们还要求一下首项$a_{1}$，看看$a_{1}$是否符合$n\geq2$时的通项公式，如果符合，就可以合并，否则就要写成分段形式。
刚才老师为什么说数列${a_{n}}$是等差数列呢？因为$S_{n}=n^{2}$，而等差数列前$n$项和最终可以化简为$An^{2}+Bn$的形式。那我们看看它是否是等差数列，借助$S_{n}$和$a_{n}$的关系。当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=n^{2}-(n - 1)^{2}=2n - 1$，这是等差数列通项公式的形式。虽然知道它是等差数列了，但首项$a_{1}$还是要验证的。当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=1^{2}=1$，把$n = 1$代入$2n - 1$，$2\times1 - 1 = 1$，说明这个通项公式也符合。所以可以合并成$a_{n}=2n - 1$，再次说明数列${a_{n}}$是等差数列。
求出数列${a_{n}}$的通项公式后，${b_{n}}$就很好算了。大家看条件，$a_{1}=2b_{1}$，所以$b_{1}=\frac{1}{2}$，又因为$b_{1}b_{2}=\frac{1}{8}$，所以$b_{2}=\frac{1}{4}$。数列${b_{n}}$已知是等比数列，它的公比$q$就可以用$b_{2}\div b_{1}=\frac{1}{2}$。所以数列${b_{n}}$的首项知道，公比也知道，其通项公式同学们算出来是多少呢？是$\frac{1}{2^{n}}$，或者写成$(\frac{1}{2})^{n}$都可以。
第一小题求出来了，${a_{n}}$和${b_{n}}$通项公式的求法不一样。对于${a_{n}}$，我们是借助$a_{n}$和$S_{n}$的关系得出来的；对于数列${b_{n}}$的通项公式，我们是根据定义得到的。这是${a_{n}}$和${b_{n}}$通项公式的求法，我们再来看第二问。第二问是求和，求数列${c_{n}}$的和。我们来看一下${c_{n}}$到底是什么，$c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}$，$a_{n}=2n - 1$，$b_{n}=(\frac{1}{2})^{n}$，除以$(\frac{1}{2})^{n}$可以化简成乘以$2^{n}$，即$c_{n}=(2n - 1)\times2^{n}$。
对于这样一种由等差数列与等比数列相乘构成的新数列，求它的和同学们想到了哪种方法？注意观察，$(2n - 1)$是等差数列，$2^{n}$是等比数列，对错位相减法。同学们都知道，只要出现一个等差数列与一个等比数列中间是乘号的时候，就可以用错位相减法，而且大家都知道步骤，第一步乘公比$q$错位，第二步相减，最后化简得结果。但很多情况下我们会算错，为什么呢？首先是解题不规范。下面我们一起来求一下${c_{n}}$的前$n$项和$T_{n}$，希望书写能更规范，避免不必要的错误。
首先，我们先写出$T_{n}$用它的项表示，一般写出这个数列的前三项和后两项，中间用省略号。写的时候等差等比要写清楚，这是第一步。$T_{n}=1\times2 + 3\times2^{2} + 5\times2^{3} + \cdots + (2n - 3)\times2^{n - 1} + (2n - 1)\times2^{n}$。接下来进行错位，两边同时乘以公比$2$得到$2T_{n}=1\times2^{2} + 3\times2^{3} + 5\times2^{4} + \cdots + (2n - 3)\times2^{n} + (2n - 1)\times2^{n + 1}$。为了体现对称性，我们又写出前两项、后三项，便于相减过程不出错。注意，由于$1\times2^{2}$错到了$3\times2^{3}$下面，空了一个位置，所以$T_{n}$的末项也移了一个位置，变成$(2n - 1)\times2^{n + 1}$。
位置错好后，接下来就是相减。相减也有技巧，大家注意看，中间是$n - 1$项。首项保留，尾项保留，所以中间是$n - 1$项。观察这$n - 1$项，它们对应的指数幂都一样，相减时系数的差都是$2$，而这个系数$2$又是等差数列的公差$d$。$T_{n}-2T_{n}=-T_{n}$，继续看，首项$1\times2 = 2$带下来，中间由于相减系数差是$2$，提出来后，指数幂全部带下来，$2^{2}$，$2^{3}$，前两项写一下，再写$n - 1$项中的末尾两项$2^{n - 1}$和$2^{n}$，这里容易出错的是符号，相减时是减号。记住这些点，错位和相减就不容易出错了。