师：同学们好，今天我们一起来学习人教A版必修5第二章等比数列第一课时。首先，请同学们观察细胞分裂的过程：一个细胞分裂成两个，两个分裂成4个，以此类推，一个细胞每次分裂的细胞个数就构成了数列。
实例二，我国古代学者提出“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这是什么意思呢？也就是说一尺长的木棒，每天取它的一半，那么永远也取不尽。木棒每天所剩的长度就构成了一个数列。
实例三，一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，并通过邮件进行传播。把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，以此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是……
实例四，有一种支付利息的方式，是把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再算下一期的利息，也就是通常所说的利滚利。现在存入银行1万元钱，年利率是1.98% 。第一年年末本利和为1万乘以1.0198；第二年年初本金即为第一年的年末本利和，那么第二年的年末本利和即为1万乘以1.0198的平方；第三年的年末本利和为1万乘以1.0198的三次方……图表所示，每一年年末本利和就构成了一个数列。
请同学们思考，以下数列有什么共同特点？即从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。把具有这样共同特点的数列，我们称它为等比数列。它的完整定义是什么呢？一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，常用字母q表示。
那么，等比数列定义的数学符号语言如何描述呢？$a_{n + 1} \div a_{n} = q$（$q \neq 0$，$n \in N^+$），满足这样特点的数列，我们称它为等比数列。这里$q \neq 0$，为什么呢？由定义可知，数列的每一项都有可能做分母，分母不能为0，所以这里$q \neq 0$。反过来，如果告诉你数列${a_{n}}$为等比数列，也一定能得到这样的式子成立。我们可以通过这个式子去判断一个数列是否成等比数列，这种方法可以称作定义法判断等比数列。再次强调，定义当中同学们一定要注意，等比数列中的各项不等于0，也就是$a_{n} \neq 0$，$q \neq 0$。若$q \lt 0$，等比数列呈现怎样的特点呢？会正负交替。为什么呢？当等比数列首项$a_{1} \gt 0$，公比$q \lt 0$，则第二项$a_{2} \lt 0$，第三项$a_{3} \gt 0$；如果首项$a_{1} \lt 0$，公比$q \lt 0$，则第二项$a_{2} \gt 0$。呈现正负交替的特点。
接下来，我们就对公比$q$进行全面的探究。这里规定首项$a_{1} \gt 0$时，当$0 \lt q \lt 1$，数列${a_{n}}$为递减数列；当公比$q \gt 1$，等比数列${a_{n}}$为递增数列；当公比$q = 1$时，等比数列${a_{n}}$为常数列；公比$q \lt 0$时，等比数列${a_{n}}$为摆动数列。
请问同学们，有没有一个数列它既是等比又是等差呢？答案是当公比$q = 1$时的等比数列，即非0的常数列。那么课下同学们思考一下，如果首项$a_{1} \lt 0$时，$q$对数列${a_{n}}$的单调性有何影响？
我们类比等差数列的学习，等差数列有等差中项这个性质，那么等比数列它是否也具有呢？答案是肯定的。若$a$，$G$，$b$成等比数列，$G$叫做$a$与$b$的等比中项。也就是说$a$，$G$，$b$这三个数成等比，一定能得到什么呢？一定能得到$G^2 = a \times b$，怎么得到的呢？是由定义推导而来。反过来，$G^2 = a \times b$，是否能得到$a$，$G$，$b$三个数成等比呢？回答是不一定能推导出。因为这里的$a \times b$必须大于0，也就是说$a$，$b$这两数必须同号才等价。以后我们可以对于涉及到三个数是否成等比，用等比中项来进行判断。
接下来，请问 - 10和10是否存在等比中项？存在吗？理由是 - 10和10这两数异号，所以不存在。第二小题，如果$a$，$b$有等比中项，它们应该满足什么条件呢？很容易回答，也就是说，如果两数同号才有等比中项。同学们注意，等比中项$G^2 = a b$，$G$可以开方等于$\pm\sqrt{ab}$，正负到底取哪一个呢？
接下来，请同学们完成课堂练习。第一小题，$x$，2，8成等比数列，则这里的$x$等于多少呢？观察2和8这两数都是正数，所以$x$的值是存在的。根据等比中项的定义，所以$x^2 = 2 \times 8$，即$x = \pm4$。这里正号、负号都可取吗？是的，因为这一题没有任何条件限制。
咱们看第2小题，$x$，2，8， - 16成等比数列，$x$的值跟第一小题还一样吗？不一样啦。为什么？因为第二小题它多了一个条件，它告诉你四项成等比，并且第三项、第四项是具体的8和 - 16，可以通过它得到公比$q = - 2 \lt 0$，所以这里的$x$咱们只能取负号，即$x = - 4$。