师：同学们，大家好，今天我们进一步学习等比数列。什么是等比数列呢？如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值为同一个定值，我们就称这样的数列为等比数列，这个定值称为公比q，显然q≠0 。因为每一项都可能作为分母，所以等比数列中的任何一项都不为0，即$a_m$≠0 。
我们用累乘法得到等比数列的通项公式：$a_n = a_1×q^{n - 1}$ ，那么$a_m$可以写成$a_1×q^{m - 1}$，所以$\frac{a_n}{a_m}=q^{n - m}$，也就是$a_n = a_m×q^{n - m}$ 。
这里我们约定$m≠n$ ，所以如果知道等比数列中任何一项$a_m$和公比q，同样能够写出它的通项公式。那么，什么数列既是等差数列，又是等比数列呢？如果是等差数列，$a_n = a_1 + (n - 1)d$；如果是等比数列，$b_n = b_1×q^{n - 1}$。要使得两者相等，只能是$d = 0$且$q = 1$，那么原来它是一个常数列。但是不是所有的常数列都符合呢？由等比数列可知$a_m$不能为0，所以只有所有的非0常数列既是等差数列，又是等比数列。
下面我们看探究：若${a_n}$是等比数列，那么$a_n^2 = a_{n - 1}×a_{n + 1}$是否成立？显然成立，因为$\frac{a_{n + 1}}{a_n}=\frac{a_n}{a_{n - 1}}$，这是等比中项的性质。这说明在整个等比数列中，任意连续三项都构成等比数列。$a_5^2$是否等于$a_3×a_7$呢？因为$a_5^2 = (a_1q^4)^2 = a_1^2q^8$，$a_3×a_7 = a_1q^2×a_1q^6 = a_1^2q^8$，显然两者相等。细心的同学会发现，$a_5×a_5 = a_3×a_7$，说明下标和相等，则项的乘积相等。同理，我们得到$a_1×a_9$也是等于$a_1^2×q^8$。
好，我们看第三个，$a_n^2 = a_{n - k}×a_{n + k}$这个式子是否成立呢？$a_n^2 = (a_1q^{n - 1})^2$ ，$a_{n - k}×a_{n + k} = a_1×q^{n - k - 1}×a_1×q^{n + k - 1} = a_1^2×q^{2n - 2}$，两者是相等的。这说明等比中项不仅仅局限于连续的三项，把$a_n$向左平移k个单位，或者向右平移k个单位同样成等比数列。所以我们把这样一个性质叫做等比中项公式的一个性质：若g是a、b的等比中项，我们得到$g^2 = ab$，$a_m^2 = a_{m - k}×a_{m + k}$，向左或向右平移k单位成等比数列。我们看思考：$g^2 = a×b$，是否能得到g一定是a、b的等比中项呢？不一定，万一$g = a = b = 0$，显然就不成立了，所以反过来不一定正确。
探究2：在等比数列${a_n}$中，下列结论是否成立呢？$a_m×a_n = a_1×q^{m - 1}×a_1×q^{n - 1} = a_1^2×q^{m + n - 2}$，同理，$a_p×a_q = a_1^2×q^{p + q - 2}$。因为$m + n = p + q$，所以两者相等，这是等比数列一个非常重要的性质。这里面如果$p = q$，那么$a_m×a_n = a_p^2$，显然也是正确的。
第三个，大家仔细观察，$a_1×a_n$，$a_2×a_{n - 1}$，$a_3×a_{n - 2}$，我们发现所有的下标之和都相等，显然它们项的乘积是相等的。这就得到了等比数列非常重要的下标公式：如果$m + n = p + q$，则$a_m×a_n = a_p×a_q$，这与等差数列中项数之和相等，则项之和相等，要对比着记忆。
这里大家需要注意的是等式左右所参与的项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数一定要相等，左边多少个，右边一定多少个。比如$m + n = p + q + s$，那么$a_m×a_n$就不一定等于$a_p×a_q×a_s$了，因为左右两边项数不同。
我们再来看第三个，等差数列与等比数列的互化。若正向等比数列${a_n}$首项为$a_1$，公比为q，则$\log a_n$为等差数列。这说明等比数列与等差数列是互通的。因为$a_n = a_1×q^{n - 1} > 0$，那么$\log a_n = \log(a_1×q^{n - 1}) = \log a_1 + \log q^{n - 1} = \log a_1 + (n - 1)\log q$。刚好配成一个非常工整的等差数列的通项公式，由此$\log a_{n + 1} - \log a_n = \log q$，它是一个常数，说明若${a_n}$为等比数列，给它套上一个对数的“帽子”，就变成了等差数列。大家再动脑筋想一想，如何由一个等差数列得到等比数列呢？是不是也给它套上一个什么样的“帽子”呢？课后思考一下。
第四个，等比数列${a_n}$中，下标成等差数列，则对应的项成等比数列。比如等比数列${a_n}$中，如果下标成等差数列，则对应的项仍旧成等比数列。全体的奇数项$a_1$、$a_3$、$a_5$、$a_7$、$a_9$也是等比数列，它的公比是多少呢？$a_7÷a_5 = q^2$，显然$q^2$是它的公比。这说明全体的奇数项符号肯定是相同的，因为后项等于前项乘以一个正数$q^2$。依次类推，全体的偶数项也成等比数列，公比为$q^2$，说明全体的偶数项符号也是相同的。
再比如$a_3$、$a_8$、$a_{13}$，它们下标之差都是5，说明它的公比为$q^5$，具有一般性。若$m$和$k$属于正整数集，那么$a_{k + m}$，$a_{k + 2m}$，$a_{k + 3m}$仍旧是等比数列，这个新的等比数列它的公比是多少呢？后项与前项的比值刚好是$q^m$，也就是$q$的间隔次方。
我们再看，数列${a_n}$首项为$a_1$，公比为q，则${\frac{1}{a_n}}$、${ka_n}$、${a_n^2}$、${a_n^k}$也是等比数列，这说明等比数列的可塑性很强。那么它们公比分别是多少呢？我们来简单推导一下，$a_n = a_1×q^{n - 1}$，那么$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1}×(\frac{1}{q})^{n - 1}$，由此得到${\frac{1}{a_n}}$的公比是$\frac{1}{q}$；$ka_n = k×a_1×q^{n - 1}$，它对$q^{n - 1}$没有影响，所以公比还是原来的q；同理，$a_n^2 = a_1^2×(q^2)^{n - 1}$，新的公比为$q^2$；同理，得到${a_n^k}$的公比是$q^k$。
这里如果${a_n}$和${b_n}$是项数相同的等比数列，那么${a_n×b_n}$也是等比数列，它的公比是多少呢？$a_1q^{n - 1}×b_1×q_1^{n - 1} = a_1×b_1×(q×q_1)^{n - 1}$，所以新数列的公比为两个等比数列公比的乘积，相除也是同样的道理。
对于等比数列${a_n}$首项为$a_1$，公比为q，那么$a_n×a_{n + 1}$与$a_n + a_{n + 1}$是否也是等比数列呢？我们看第一个，$a_n×a_{n + 1} = a_1×q^{n - 1}×a_1×q^{n} = a_1^2×q^{2n - 1} = a_1^2q×(q^2)^{n - 1}$，所以它是一个等比数列。那么$a_n + a_{n + 1} = a_1q^{n - 1} + a_1q^{n} = a_1q^{n - 1}(1 + q)$，咋一看它的确像一个等比数列的通项公式，前面是常数乘以$q^{n - 1}$，但是它一定是等比数列的通项公式吗？细心的同学会发现，如果$q = - 1$，比如数列$1$，$-1$，$1$，$-1$这样一个摆动数列，那么$a_n + a_{n + 1}$就不一定是等比数列了。所以这一点大家要特别注意。
好，我们来看这样一个例题。已知数列${a_n}$满足$a_1 = 1$，$a_{n + 1} = 3a_n + 1$，证明数列${a_n + \frac{1}{2}}$是等比数列，并求出$a_n$的通项公式。因为数列${a_n}$每一项加$\frac{1}{2}$以后就是等比数列，$a_1 + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}≠0$，$a_{n + 1} + \frac{1}{2} = 3a_n + 1 + \frac{1}{2} = 3(a_n + \frac{1}{2})$。根据等比数列的定义，$\frac{a_{n + 1} + \frac{1}{2}}{a_n + \frac{1}{2}} = 3$，这说明${a_n + \frac{1}{2}}$是一个等比数列，并且首项$a_1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$，公比为3。通项公式$a_n + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}×3^{n - 1} = \frac{1}{2}×3^n$，进一步得到$a_n = \frac{1}{2}×3^n - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(3^n - 1)$。