师：同学们，大家好。今天我们继续学习二次函数的图像和性质。上节课我们学习了二次函数(y = x^{2})的图像和性质，那二次函数(y = x^{2} + k)和(y = a(x - h)^{2})的图像是怎样的，又有什么性质呢？我们先回顾一下(y = x^{2})的图像及相关性质，请大家填一下这个表格。
师：都填好了吗？我们先看图像，当(a > 0)时，图像开口向上；当(a < 0)时，开口向下。从位置关系看，开口向上的在(x)轴上方，开口向下的在(x)轴下方，且(\vert a\vert)越大，开口越小。它们都关于(y)轴对称，对称轴是直线(x = 0)，顶点坐标都在原点。最值方面，当(a > 0)，(x = 0)时，(y)有最小值(0)；当(a < 0)，(x = 0)时，(y)有最大值(0)。增减性呢，当(a > 0)，在对称轴左侧(y)随(x)增大而减小，右侧(y)随(x)增大而增大；当(a < 0)，在对称轴左侧(y)随(x)增大而增大，右侧(y)随(x)增大而减小。
师：下面请大家把课本翻到第(32)页，将二次函数(y = 2x^{2} + 1)、(y = 2x^{2} - 1)，通过列表、描点、连线的形式画出图像，方便后续研究。
师：首先列表，大家都填好了吗？我们比对一下数据，(x = -1.5)时，(y = 2x^{2} + 1)对应(5.5)；(x = -1)时，对应(3)；(x = -0.5)时，对应(1.5)；(x = 0)时，对应(1)；(x = 0.5)时，对应(1.5)；(x = 1)时，对应(3)；(x = 1.5)时，对应(5.5)。(y = 2x^{2} - 1)，(x = -1.5)时，对应(3.5)；(x = -1)时，对应(1)；(x = -0.5)时，对应(-0.5)；(x = 0)时，对应(-1)；(x = 0.5)时，对应(-0.5)；(x = 1)时，对应(1)；(x = 1.5)时，对应(3.5)。
师：请大家将对应数据在平面直角坐标系中描点。都描好了吗？我们看一下。注意是两排，列表描点连线后，用平滑曲线连起来，得到(y = 2x^{2} + 1)和(y = 2x^{2} - 1)的图像。请大家思考，(y = 2x^{2} + 1)、(y = 2x^{2} - 1)的图像与上节课学的(y = 2x^{2})的图像有什么关系呢？从位置上看，把抛物线(y = 2x^{2})向上平移一个单位长度就得到抛物线(y = 2x^{2} + 1)，向下平移一个单位长度就得到(y = 2x^{2} - 1)。这三条抛物线开口方向、开口大小都相同，对称轴都是(y)轴，增减性相同，顶点坐标不同。我们将这个研究一般化，二次函数(y = x^{2} + k)的图像可以由(y = x^{2})的图像平移得到，当(k > 0)时，向上平移(k)个单位长度；当(k < 0)时，向下平移(\vert k\vert)个单位长度，总结起来就是“上加下减”。
师：我们通过表格整理一下刚刚学到的知识。当(a > 0)、(k > 0)时，图像开口向上；当(a > 0)、(k < 0)时，开口也向上；当(a < 0)、(k > 0)时，开口向下；当(a < 0)、(k < 0)时，开口向下。对称轴这四个都是(y)轴，即直线(x = 0)。顶点坐标可提炼为((0,k))。函数增减性，前两个(a > 0)，开口向上，当(x < 0)时，(y)随(x)增大而减小；当(x > 0)时，(y)随(x)增大而增大。后两个(a < 0)，开口向下，当(x < 0)时，(y)随(x)增大而增大；当(x > 0)时，(y)随(x)增大而减小。最值方面，前两个开口向上有最小值，当(x = 0)时，(y)取得最小值(k)；后两个开口向下有最大值，当(x = 0)时，(y)取得最大值(k)。那如何画二次函数(y = x^{2} + k)的图像呢？第一种方法是描点法，列表、描点、连线画出；第二种方法是平移法，先画出(y = x^{2})的图像，再向上或向下平移(\vert k\vert)个单位长度。接下来请大家思考，抛物线(y = x^{2} + k)中(a)决定了什么，怎样决定的？(k)决定了什么？这个抛物线的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
生：(a)决定开口方向和大小，当(a > 0)时，开口向上；当(a < 0)时，开口向下。(k)决定顶点的纵坐标，对称轴是(y)轴，也可以说直线(x = 0)，顶点坐标为((0,k))。
师：接下来请同学们做练习。第一题，已知抛物线(y = 2x^{2} - 3)。第一问，它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
生：开口向上，对称轴为(y)轴，顶点坐标为((0, - 3))。
师：第二问，把抛物线(y = 2x^{2})怎样平移可得到抛物线(y = 2x^{2} - 3)？
生：向下平移(3)个单位长度。
师：第三问，若点(( - 4,y_{1}))、(( - 1,y_{2}))在抛物线(y = 2x^{2} - 3)上，(y_{1})和(y_{2})谁大谁小？
生：第一种方法代值，把(-4)、(-1)代入抛物线(y = 2x^{2} - 3)中求得(y_{1})、(y_{2})进行比较。第二种方法，利用抛物线性质，这个抛物线开口向上，当(x < 0)时，(y)随(x)增大而减小，从(-4)到(-1)自变量增大，函数值减小，所以(y_{1} > y_{2})。
师：第二题，关于二次函数(y = - 2x^{2} + 3)，下列说法中正确的是？
生：选择(b)。(a)选项，(a = - 2 < 0)，开口应向下，所以(a)不正确；(c)选项，顶点坐标应该是((0,3))而不是((3,0))；(d)选项，(a = - 2)开口向下，函数有最大值(3)，不是最小值，所以选择(b)。
师：第(3)题，如果将抛物线(y = x^{2} + 2)向下平移(3)个单位长度，所得新抛物线的解析式是什么？
生：(y = x^{2} - 1)，根据“上加下减”。
师：第四题，二次函数(y = mx^{2} + m - 2)的图像顶点在(y)轴负半轴上，且开口向上，则(m)的取值范围是什么？
生：顶点坐标是((0,m - 2))，在(y)轴负半轴，所以(m - 2 < 0)，即(m < 2)；又因为开口向上，(a = m > 0)，结合起来(m)的取值范围是(0 < m < 2)。
师：接下来我们继续探究，请大家把课本翻到第(33)页，在同一坐标系中画出函数(y = - \frac{1}{2}(x + 1)^{2})、(y = - \frac{1}{2}(x - 1)^{2})的图像，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标。我们继续用列表、描点、连线的形式研究。首先列表，大家计算并把表格中的数据填好。
师：都填好了吗？(y = - \frac{1}{2}(x + 1)^{2})，(x = - 4)时，对应(-4.5)；(x = - 3)时，对应(-2)；(x = - 2)时，对应(-\frac{1}{2})；(x = - 1)时，对应(0)；(x = 0)时，对应(-\frac{1}{2})；(x = 1)时，对应(-2)；(x = 2)时，对应(-4.5)。(y = - \frac{1}{2}(x - 1)^{2})，(x = - 2)时，对应(-4.5)；(x = - 1)时，对应(-2)；(x = 0)时，对应(-\frac{1}{2})；(x = 1)时，对应(0)；(x = 2)时，对应(-\frac{1}{2})；(x = 3)时，对应(-2)；(x = 4)时，对应(-4.5)。
师：列表之后描点连线，大家观察到什么了？请填这个表格，课本上也有。
生：(y = - \frac{1}{2}(x + 1)^{2})开口向下，对称轴是直线(x = - 1)，顶点坐标(( - 1,0))；(y = - \frac{1}{2}(x - 1)^{2})开口向下，对称轴是直线(x = 1)，顶点坐标((1,0))。
师：于是我们得到了(3)个抛物线的图像。那目前画的两个抛物线图像与原来的(y = - \frac{1}{2}x^{2})这个抛物线图像有什么关系呢？
生：可以通过平移得到。(y = - \frac{1}{2}x^{2})向左平移一个单位长度得到(y = - \frac{1}{2}(x + 1)^{2})的图像，向右平移一个单位长度得到(y = - \frac{1}{2}(x - 1)^{2})。
师：我们总结一下，二次函数(y = a(x \pm h)^{2})的图像与(y = ax^{2})的图像关系如下。(y = ax^{2})向右平移(h)个单位长度时，得到(y = a(x - h)^{2})的图像；向左平移(h)单位长度时，得到(y = a(x + h)^{2})。总结规律口诀“左加右减”。
师：我们列个表格，请大家暂停一下，将表格填一下并思考。
师：大家都填好了吗？我们一起看，当(a > 0)、(h > 0)时，图像开口向上；当(a > 0)、(h < 0)时，开口向上；当(a < 0)、(h > 0)时，开口向下；当(a < 0)、(h < 0)时，开口向下。开口方向，前两个(a > 0)开口向上，后两个(a < 0)开口向下。对称轴这四个都可以用直线(x = h)表示。顶点坐标都可以用((h,0))表示。函数增减性，前两个开口向上，当(x < h)时，(y)随(x)增大而减小；当(x > h)时，(y)随(x)增大而增大。后两个开口向下，当(x < h)时，(y)随(x)增大而增大；当(x > h)时，(y)随(x)增大而减小。最值方面，前两个开口向上有最小值，当(x = h)时，(y)取得最小值(0)；后两个开口向下有最大值，当(x = h)时，(y)取得最大值(0)。接下来我们做练习，在同一平面直角坐标系中画出函数(y = - \frac{1}{2}x^{2})与(y = - \frac{1}{2}(x - 2)^{2})的图像，并根据图像回答下列问题。
师：都画好了吗？第一个是(y = - \frac{1}{2}x^{2})，第二个是(y = - \frac{1}{2}(x - 2)^{2})的图像。根据图像回答第一个问题，抛物线(y = - \frac{1}{2}(x - 2)^{2})可以由抛物线(y = - \frac{1}{2}x^{2})怎样平移得到？
生：向右平移两个单位长度，可根据“左加右减”口诀，也可抓住顶点，这两个抛物线顶点分别分析出平移方向。
师：第二问，抛物线(y = - \frac{1}{2}(x - 2)^{2})的对称轴是什么？除顶点外，抛物线上的点都在(x)轴的上方还是下方？顶点坐标是什么？
生：对称轴是直线(x = 2)，(a = - \frac{1}{2})开口向下，顶点坐标是((2,0))，除顶点外，抛物线上的点都在(x)轴下方。
师：第三个问题，对于函数(y = - \frac{1}{2}(x - 2)^{2})，当(x)大于多少时，(y)随(x)的增大而减小？当(x)等于多少时，(y)有最大值，最大值是多少？
生：对称轴是(x = 2)，开口向下，当(x > 2)时，(y)随(x)增大而减小；当(x = 2)时，(y)有最大值，最大值是(0)。
师：下一个题，二次函数(y = - 2x^{2})的图像平移后可得到二次函数(y = - 2(x + 1)^{2})的图像，平移的方法是什么？
生：选择(c)向左平移一个单位长度。可以通过找顶点，原来顶点是((0,0))，平移后顶点坐标是(( - 1,0))，所以向左平移；也可以用“左加右减”口诀理解。
师：对于二次函数(y = 3(x + 2)^{2})，下列说法正确的是？
生：(a)选项图像开口向下不对，(a = 3 > 0)，开口向上；(b)选项图像对称轴是直线(x = - 2)，不是(2)；(c)选项当(x > - 2)时，(y)随(x)增大而增大，不是减小；(d)选项，开口向上对称轴是(x = - 2)，有最小值，(x = - 2)代入(y = 0)，所以最小值是(0)，这道题选(d)。
师：最后我们总结这节课所学知识。这节课我们学习了两类函数的图像和性质。第一类是(y = x^{2} + k)系列。请大家填这个表格。
师：大家填好了吗？看这四个图像，分析(5)大性质。开口方向，前两个开口向上，后两个开口向下；对称轴都是直线(x = 0)；顶点坐标都可表示为((0,k))；增减性，前两个开口向上，当(x < 0)时，(y)随(x)增大而减小，当(x > 0)时，(y)随(x)增大而增大；后两个开口向下，增减性相反，当(x < 0)时，(y)随(x)增大而增大，当(x > 0)时，(y)随(x)增大而减小。最值方面，前两个开口向上有最小值，(x = 0)时，(y)取最小值(k)；后两个开口向下有最大值，(x = 0)时，(y)取最大值(k)。
师：接下来我们学习了第二类函数(y = a(x \pm h)^{2})的图像和性质。看这(4)个图像，回顾(5)个性质。开口方向，前两个(a > 0)开口向上，后两个(a < 0)开口向下；对称轴都可以用直线(x = h)表示；顶点坐标都可表示为((h,0))；增减性，前两个开口向上，当(x < h)时，(y)随(x)增大而减小，当(x > h)时，(y)随(x)增大而增大；后两个开口向下，当(x < h)时，(y)随(x)增大而增大，当(x > h)时，(y)随(x)增大而减小。最值方面，前两个开口向上有最小值，(x = h)时，(y)有最小值(0)；后两个开口向下有最大值，(x = h)时，(y)取最大值(0)。
师：同学们，这节课我们通过列表、描点、连线画出相应函数图像，分析了两类二次函数的图像和性质，大家都有所收获吗？后面我们还要继续研究。今天这节课到此结束，谢谢大家。