师：同学们，大家好！今天我们要学习初中数学人教版九年级下册第27章第二节相似三角形第7课时——相似三角形应用举例。我们先来回忆一下之前学过相似三角形的主要内容。首先是相似三角形的判定：
定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似，这既是相似三角形的定义，也可作为相似三角形的判定和性质。
相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
类比全等三角形的判定，得出相似三角形的三个判定：三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似。
学会了相似三角形的判定后，如果已知两个三角形相似，又能得出哪些性质呢？研究三角形，一般从边角、主要线段三个方面进行。从边的方面看，相似三角形的对应边成比例；从角的方面看，相似三角形的对应角相等；从主要线段方面看，相似三角形对应线段的比等于相似比。接着还得出，相似三角形周长的比等于相似比，而相似三角形面积的比等于相似比的平方。我们学习了相似三角形的判定和性质，那相似三角形在实际生活中有哪些应用呢？大家来看这张图片，相信大家都知道这是埃及的金字塔，这张是胡夫金字塔，它是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为世界古代七大奇迹之一。塔的四个斜面正对东、南、西、北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米。据考证，建成胡夫金字塔共动用了10万人，花了20年时间。原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，高度有所降低。
那如何测量金字塔的高度呢？第一，据传说古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶端立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度。具体是怎么做的呢？大家看，EF即为竖立的木杆，ED为太阳光线，FD为木杆在地面上的影长，EF与ED、FD组成了一个直角三角形。同样，我们可以将金字塔抽象为一个正四棱锥，OB即为金字塔的高度，连接OA。由此看出，线段OB、OA及太阳光线AB也组成了一个直角三角形。那这两个三角形相似吗？这两个三角形中又有哪些线段是易于测量的呢？我们知道，EF为木杆的高度可以测量，FD为木杆在地面上的影长也易于测量。那怎么测量OA的长度呢？OA的长也是易于测量的，金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔边长的一半的和。如图，如果木杆EF长两米，它的影长FD为3米，测得OA为201米，求金字塔的高度BO。
这样，我们就将一个实际问题转化为了数学问题。来详细分析一下这道题，太阳光是平行光线，同时同地与地面的夹角相同，由此可得∠BAO = ∠EDF。又因为∠AOB = ∠DFE = 90°，由两角分别相等的两个三角形相似，所以△ABO∽△DEF。根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，由此可得BO∶EF = OA∶FD。因为OA、FD和EF都是已经测得的线段，所以将已知量代入即可表示出BO的值，BO = OA×EF÷FD，通过计算得出BO = 134米，因此金字塔的高为134米。
我们回顾一下这道题，首先由太阳光线是平行光线得出同位角相等，再由两个角为直角，构造两个相似的直角三角形，所以得出太阳光下同一时刻两物体的高度之比等于它们的影长之比。接着将已测得的量代入，用相似三角形的性质得出相应的比例式，从而求出所要求的量。
那还有其他方法吗？第二种方法，在金字塔的前端地面上放置一块平面镜，测量者走到恰当的位置，使得恰好能在平面镜上看到金字塔的顶端B。从图中可知，这里有两个直角三角形△AOB以及直角三角形△AFE。由物理中学的光的反射定律得到，反射角等于入射角，所以∠CAE = ∠CAB。又从数学中的等角的余角相等，所以∠EAF = ∠BAO。从而得到这两个三角形有两个角分别相等，有两角分别相等的三角形相似，即△ABO∽△AEF。由相似三角形对应边成比例，所以OB∶FE = AO∶AF，而此时AF、FE以及AO都是可测量的量，将已测量的量代入，即可求出OB的值，OB = AO×FE÷AF。这种方法是利用物理中光的反射定律得出反射角等于入射角，从而得出角相等，构造了两个相似的三角形。
从以上方法中，我们发现测量不易到达顶端的物体的高度，可以通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解。无论是方法一中利用太阳光是平行光线得到同位角相等构造两个相似三角形，还是方法二中根据物理中的光的反射定律得出反射角等于入射角，即∠1 = ∠2，再根据等角的余角相等推出∠3 = ∠4，同样得出两个相等的角，从而推出两个三角形相似来解决实际问题。
那相似三角形除了可以测量高度之外，还有哪些应用呢？回忆一下我们之前所学的，我们曾经用三角形中位线定理和全等三角形的判定构造了A字型或X型来测量池塘的宽度。那能否用相似三角形的知识来测量河的宽度呢？请看例2。
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸选点Q和S，使得P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S，且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。
从刚刚构造的过程中会发现这里同样有两个相似的三角形，∠PQR和∠PST同为直角，而这里的∠P又为两个三角形的公共角，我们所要测量的河的宽度即为PQ的值，PQ在直角三角形PQR中。那要测得哪些量才能求出PQ的值呢？已测得QS = 45米，ST = 90米，QR = 60米，请根据这些数据求河的宽度PQ。
我们一起来分析一下，由构造的图形可知，因为∠PQR = ∠PST = 90°，而∠P为这两个三角形的公共角，所以△PQR∽△PST。由相似三角形的对应边成比例，所以PQ∶PS = QR∶ST。但是PS我们是未知的，该如何解决呢？其实PS可以用PQ加上QS来代替，所以PQ∶(PQ + QS) = QR∶ST。我们将已知的线段长度代入，即可得到一个比例式，将比例式变形为一个关于PQ的一元一次方程，从中我们解得PQ = 90米，因此河宽大约为90米。