师：同学们，大家好，今天我们来学习第27章相似三角形第一课时。本节课的学习目标如下：一是复习相似三角形定义及相似比，学会用几何符号语言表述问题；二是理解平行线分线段成比例基本事实成立的数学道理；三是掌握A型、X型两种与三角形有关的对应线段比；四是能根据图形条件中平行的截线，写出系列比例式并进行相关计算。
首先，我们来复习相似三角形的定义。
如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，且(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'})，即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△A'B'C'相似，记作△ABC∽△A'B'C'。
这里有两个关于三角形相似需要注意的问题。其一，三角形相似符号与对应边相似比具有顺序性。如果△ABC∽△A'B'C'，那么它们的相似比就是前一个三角形△ABC的其中一条边，如AB比上后一个三角形△A'B'C'的对应边A'B'。反过来，如果△A'B'C'∽△ABC，那么它们的相似比就是(\frac{A'B'}{AB})。若将△ABC∽△A'B'C'的相似比记作k，那么△A'B'C'∽△ABC的相似比则为(\frac{1}{k})。其二，如果已知△ABC∽△A'B'C'，那么它们的对应角相等，对应边成比例。这是相似三角形的性质之一，也是最常用到的性质。
为了今后学习判定两个三角形相似，我们今天必须学习一个新知识——探究平行线分线段成比例基本事实。这是获得相似三角形判定方法的预备知识。大家回忆一下，我们在学习全等三角形的时候，先学习了全等三角形的定义，然后找到了全等的判定方法。类比全等三角形，相似三角形也沿用了这种从定义到判定的思路。我们今天学习的平行线分线段成比例基本事实，是为相似三角形的判定做铺垫的，所以我们把这个基本事实看作是找到简便判定相似三角形的重要阶梯。这里提到的基本事实，我们可以理解它的道理，但严格证明比较麻烦。首先，我们从探究平行线等分线段定理入手，看看它是否成立以及为什么成立。
如图，已知直线(L_3\parallel L_4\parallel L_5)，三条平行线分别在直线(L_1)、(L_2)上截得AB、BC和DE、EF。当AB = BC时，(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF})是否成立呢？我们看到这个图形，直线(L_1)、(L_2)被平行线(L_3)、(L_4)、(L_5)所截，其中对应线段AB对应DE，BC对应EF，AC对应DF。我们来分析一下，因为AB = BC，所以(\frac{AB}{BC}=1)。要证(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF})，也就是要证明(\frac{DE}{EF})也等于1，即证DE = EF。
从图中可以看出，DE和EF在一条直线(L_2)上。要证DE = EF，必须把它们放在两个全等的三角形中，利用全等三角形对应边相等的性质来证明。由此，我们想到分别过点D和点E作(DG\parallel AB)，(EH\parallel BC)。通过平行可以传递同位角相等，再加上本身的平行线(L_3)、(L_5)和我们所添加的平行线，构建出了两个平行四边形。再利用平行四边形对边相等，可证得DG = AB，EH = BC。并且我们已经知道AB = BC，所以DG = EH。这样，我们可以利用角边判定△DGE≌△EHF，从而得出DE = EF，也就证明了(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF})。
从以上我们可以得出这样一个结论：一组直线被三条平行线所截，如果(L_3)、(L_4)、(L_5)平分在(L_1)上截得的线段AC，那么也平分在另一条直线(L_2)上所截得的线段DF。
接下来，我们再考虑比值不为1的情形。当(\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3})时，我们能不能用前面讲到的平行线等分线段定理得到的结论来证明呢？请同学们注意观察，我们可以添加5条水平的平行线，把AB两等份，把BC三等份。添加平行线以后，我们可以看到新添加的平行线和原来的平行线一起，在(L_1)上所截得的线段都相等，因此在另一条(L_2)上截得的线段也都是相等的。我们可以把所截得的每小份线段都看成m长。同学们看，AB是2m，BC是3m，DE是2m，EF是3m。因此(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3})。也就是说，当(\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3})时，也存在(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF})。
假如取一个较复杂的比值，(\frac{AB}{BC}=\frac{345}{1000})，我们可以采用类似于当(\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3})时添加辅助线的方法，将AB 345等分，BC 1000等分。这其中的道理和上面是完全一样的。
通过以上三个例子，我们发现了一组平行线截两条直线所得的对应线段成比例。我们来归纳一下平行线分线段成比例这个基本事实：用文字语言概述为两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。这个基本事实的符号语言是：因为(L_3\parallel L_4\parallel L_5)，所以(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF})，(\frac{AC}{BC}=\frac{DF}{EF})，(\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF})。我们可以简单地在被截出的(L_1)上的三条线段，按上、下、全的顺序来记，(L_2)上被截出的线段也按同样顺序。这个基本事实就可以这样简单记忆：上比下等于上比下，全比下等于全比下，下比全等于下比全，全比上等于全比上。
这个基本事实有三点说明：一是基本事实的条件是两条直线被一组平行线所截；二是对应线段成比例，要注意“对应”两字；三是同一条直线上的两条线段应该写在同一个分式上。
接下来，我们平移其中的一条直线(L_1)。请同学们仔细观察下列图中直线(L_1)的运动。当(L_1)经过点D时，形成新的图形，新图形形似英文字母“A”，我们简称“A型”。前面所讲到的比例式在此图中还成立吗？我们来分析一下，平移前在AC的位置，因平移前后的(L_1)与(L_2)、(L_3)、(L_4)、(L_5)构成平行四边形，所以(L_1)平移前后被截得的线段AB、BC均不改变。因此原来的所有比例式(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF})，(\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF})等仍然成立。当(L_1)经过点E时，形成了最右边的图。在此图中，原来的所有比例式仍然成立，因为图中有关对应线段的长度均没改变。