师：同学们，大家好，欢迎走进数学课堂。今天我们要学习的是第27.2节相似三角形的第六课时。首先，我们来回顾一下以前的知识。三角形相似的判定方法有哪些？请同学们回忆一下。
生：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角对应相等的两个三角形相似；斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
师：同学们回答得很准确。那相似三角形的边和角有着哪些性质呢？
生：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
师：非常好。同学们还想知道相似三角形有哪些其他性质吗？今天我们就一起来继续研究。同学们，我们在八年级的时候学习过三角形有哪几条重要的线段呢？
生：三角形的高、中线和角平分线。
师：对了。那么如果两个三角形相似，这两个相似三角形对应的高、对应的中线、对应的角平分线有着什么样的性质呢？我们来一一研究一下。大家看第一个图，三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比是多少呢？我们找到一组对应边，BC = 4，B'C' = 8。所以相似比为对应边的比，4 : 8 = 1 / 2。对应高的比是多少呢？我们找到一组对应的高，AD = 2，A'D' = 4，所以AD比上A'D'也等于1 / 2。同学们，让我们一起来猜想一下，相似三角形对应的高有着什么样的性质呢？
生：猜想相似三角形对应高的比等于相似比。
师：很好。那怎样证明三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比为k时，它们对应的高比也为k呢？首先，我们一起来做出这两个三角形对应的高，即AD和A'D'。通过原来的两个三角形相似以及做出的这两条高，同学们是否还能找出哪两个三角形相似，从而得到AD与A'D'的比呢？
生：找到了三角形ABD和三角形A'B'D'相似，或者三角形ACD和三角形A'C'D'相似。
师：对。我们选择其中的一组来证明，就选三角形ABD和三角形A'B'D'。那么这两个三角形要证它们相似，同学们用到了什么样的判定方法呢？
生：因为做出的高，所以有两组角等于90度，即∠ADB = ∠A'D'B' = 90度。又因为原来的两个三角形相似，所以∠B = ∠B'。一组对应边AB比上A'B'等于k。所以根据两组角对应相等的两个三角形相似，可得到三角形ABD相似于三角形A'B'D'。
师：非常棒。所以对应的边的比AD比上A'D'，就等于AB比上A'B'也等于k。因此我们就通过图形证明出了两个相似三角形对应高的比等于相似比。同学们，由此我们得出这样的一个结论，相似三角形对应高的比等于相似比，这就是相似三角形对应高的性质。
通过上述的猜想和证明，我们一起继续来研究相似三角形对应的角平分线、对应的中线的性质。如图，三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比为k，其中BE和B'E'分别是∠ABC、∠A'B'C'的角平分线，那么这组对应的角平分线BE与B'E'的比是多少呢？同样的，我们找到一组含BE和B'E'的三角形，证它们相似。三角形ABE和三角形A'B'E'如何证它们相似呢？
生：因为三角形ABC相似于三角形A'B'C'，我们可以得到∠A = ∠A'，∠ABC = ∠A'B'C'。对应边的比AB比上A'B'等于相似比等于k。又因为BE和B'E'分别平分∠ABC、∠A'B'C'，所以∠ABE = 1 / 2∠ABC，∠A'B'E' = 1 / 2∠A'B'C'，所以∠ABE = ∠A'B'E'。刚才又证出了∠A = ∠A'。根据两组对应角相等，两个三角形相似，就可以得到三角形ABE相似于三角形A'B'E'。
师：非常好。所以对应边BE比上B'E'就等于AB比上A'B'等于原来的相似比k。同学们，由此我们可以得到相似三角形对应的角平分线的比也等于相似比。继续看，如图，三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比为k。其中AD和A'D'分别是边BC和B'C'边上的中线，那么这组对应的中线AD与A'D'的比又是多少呢？仿照上述的方法，我们继续寻找含AD和A'D'的三角形，证它们相似，同学们找到了吗？怎么证呢？
生：证三角形ABD和三角形A'B'D'相似。因为三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比为k，所以有∠B = ∠B'，AB比上A'B' = BC比上B'C' = k。又因为AD平分BC，A'D'平分B'C'，所以BD = 1 / 2BC，B'D' = 1 / 2B'C'，所以BD与B'D'的比等于BC与B'C'的比也就等于AB与A'B'的比。又因为刚才证出了∠B = ∠B'，根据两组对应边成比例以及夹角相等的两个三角形相似，我们可以得到三角形ABD相似于三角形A'B'D'。
师：非常正确。所以对应边的比AD比上A'D'也等于AB比上A'B'。
同学们，让我们一起来归纳和总结一下，根据上述的猜想与证明，你发现了相似三角形对应的高、对应的角平分线、对应的中线有着怎样的性质吗？你能通过文字、图形和符号语言分别将它们描述出来吗？
生：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。比如图，若三角形ABC相似于三角形A'B'C'，相似比为k，这两个三角形的对应高、对应中线、对应角平分线分别是AD和A'D'、AE和A'E'、AF和A'F'，AD比上A'D' = AE比上A'E' = AF比上A'F'都等于相似比k。
师：很好。我们一起来看练习一填空。第一题，两个相似三角形的对应边的比为3 : 4。问，这两个三角形对应的角平分线的比，对应边上的高的比，对应边上的中线的比，分别是多少呢？
生：根据今天的性质，相似三角形对应的高、对应的中线、对应的角平分线的比都等于相似比，而相似比即为对应边的比，因此它们都等于3 : 4。
师：第二题，相似三角形对应角平分线的比为1 : 5，则相似比为多少？对应中线的比为多少？
生：因为相似三角形对应角平分线的比等于相似比，因此相似比也为1 : 5。对应中线的比等于相似比，所以对应中线的比也等于1 : 5。
师：同学们回答得都很正确。让我们一起来继续研究。首先来观察右图，1、2、3分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似。图2与图1的相似比是多少？图2与图1的周长比是多少？图3与图1的相似比是多少？图3与图1的周长比又是多少？请同学们根据图形并填空。
生：它们分别是2 : 1、2 : 1、3 : 1、3 : 1。
师：由上面这些结论我们可以看出，相似比等于k时，周长比也等于k。我们大胆地猜想，相似三角形的周长比等于相似比，怎么证明呢？我们继续来观察右图，1、2、3分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似。图2与图1的相似比是多少？图2与图1的面积比是多少？图3与图1的相似比是多少？图3与图1的面积比是多少？