师：同学们好，今天我们一起学习初中数学人教版九年级下册第27章，位似第二课时。首先明确本节课的学习目标：一、了解并巩固位似图形及其有关概念；二、理解平面直角坐标系中位似图形对应点的坐标之间的联系；三、能运用图形坐标的变化来表示图形的位似变换。下面我们对上一课时内容做个回顾。两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比或位似比，对应线段平行或者在一条直线上。那如何判断两个图形是否是位似图形呢？其实就是根据定义，如果两个图形的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似图形。通过位似，可以将图形放大或缩小。
上节课我们以三角形为例做了两个基本模型，同学们还有印象吗？第一个模型中我们发现原图形与位似图形可以在位似中心的同侧，也可以在位似中心的两侧。我们知道在平面直角坐标系中，可以通过变化前后两多边形对应顶点坐标的关系来表示某些平移、轴对称、旋转等变化。那么位似是否也可以通过图形坐标的变化来表示呢？今天我们就来探究一下。
首先来看探究一：在平面直角坐标系中有两点A(6, 3)、B(6, 0)，以原点O为位似中心，相似比为1/3，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化。连接OA、OB，B点在x轴上，所以不需要额外作图。根据位似图形的定义，点A和点B的对应点A'、B'应该分别在线段OA和OB上，那具体怎样确定它们的位置呢？先来看B'点，B'点在x轴上，根据相似比为1/3，我们可以得到OB'/OB = 1/3，所以我们确定了B'点的位置。A'点可以通过过B'点做垂线段，A'B'交OA于点A'，此时我们确定了AB的一对对应点A'、B'。根据上节课所学知识，我们还会得到在O的另一侧也会有A、B的另一对对应点A''、B''。下面我们具体来求一求A'和B'的坐标。
先看B'点的坐标，由作图可知B点坐标为(6, 0)，那么B'点坐标呢？通过作图，其实我们构造出了两个相似三角形，△A'OB'相似于△AOB，所以对应边A'B'/AB就等于相似比1/3，AB长度为3，所以A'B'长度为1，进而我们就能得到A'点坐标为(2, 1)。同理，我们会求到另一对对应点A''、B''的坐标分别为(-2, -1)、(-2, 0)。观察对应点坐标的变化，你发现了什么？A'、B'的坐标是由A、B两点横纵坐标分别乘以了相似比1/3得到，A''、B''坐标是由A、B两点横纵坐标分别乘以了 -1/3得到。同学们，现在你是否能够感受到在平面直角坐标系中的位似变化与其坐标变化的规律呢？以上研究的是将图形缩小的情况，下面我们来探究一下将图形放大的情况。
三角形AOC三个顶点坐标分别为A(4, 4)、O(0, 0)、C(5, 0)。以点O为位似中心，相似比为2，将三角形AOC放大，观察对应顶点坐标的变化。根据位似图形的画法，以O为位似中心，相似比为2，画出三角形A'O'C'，位似图形有两个，分别是三角形A'O'C'和三角形A''O'C''。若再以O为原点建立平面直角坐标系，并且知道A点坐标(4, 4)，C点坐标(5, 0)，那么根据作图可得三角形AOC的三个顶点A、O、C的一组对应点A'、O、C'坐标就分别为(8, 8)、(0, 0)、(10, 0)。另一组对应点A''、O、C''的坐标就分别为(-8, -8)、(0, 0)、(-10, 0)。
观察对应点坐标的变化，你有什么发现？A'、O、C'坐标是由A、O、C三点横纵坐标分别乘以相似比2得到，A''、O、C''坐标分别是由A、O、C三点横纵坐标分别乘以了 -2得到。有了以上两个探究，我们试着来回答下面两个问题。一、在平面直角坐标系中，以原点为位似中心做一个图形的位似图形可以做几个？两个。问题二，若所做位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所做位似图形与原图形在原点的异侧呢？当位似图形与原图形在原点同侧时，对应顶点坐标的比就是其相似比k；如果位似图形与原图形在原点的异侧时，对应顶点坐标的比就是其相似比的相反数 -k。
有了以上两个问题的答案，相信同学们会做出如下归纳：一、在平面直角坐标系中，以原点为位似中心做一个图形的位似图形可以做两个。一般的，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x, y)对应的位似图形上的点的坐标就为(kx, ky)或(-kx, -ky)。探究中取的相似比分别为1/3和2，当k取1/3时是将图形缩小，当k取2时是将图形放大，所以当k大于1时，图形扩大为原来的k倍；当k大于0小于1时，图形缩小为原来的k分之一。
有了以上归纳，我们试着来完成一个跟踪训练。如图，把三角形AOB缩小后得到三角形COD，则它们的相似比为多少？根据图形，此时原图形三角形AOB与位似图形三角形COD都在原点O的同侧，那么它们的相似比就是对应顶点坐标之比。B点坐标(5, 0)，D点坐标(2, 0)，所以它们的相似比为5 : 2，你做对了吗？下面我们一起来学习一个例题。
例一，如图在平面直角坐标系中，三角形ABO三个顶点的坐标分别为A(-2, 4)、B(-2, 0)、O(0, 0)。以原点O为位似中心画出一个三角形，使它与三角形ABO的相似比为3 : 2。我们知道在平面直角坐标系中想要画出一个三角形，关键是要确定其三个顶点坐标，那么A的对应点A'坐标怎么求呢？根据归纳，对应点A'的坐标是由A点横纵坐标分别乘以相似比3/2得到，所以点A'的坐标即为(-3, 6)，类似的可以确定其他顶点的坐标。