师：同学们，你们好，欢迎来到方老师的数学课堂。今天我们一起学习初中数学人民教育出版社九年级下册第28章28.1锐角三角函数第一课时的内容。在之前的初中数学课程学习中，我们已经掌握了直角三角形锐角的关系——两锐角互余，也掌握了三边的关系——在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，也就是勾股定理。那么，直角三角形的边和角之间又存在什么关系呢？这就是我们本节课要探究的内容。
首先，来看这样一个问题：为了绿化荒山某地，打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡的坡角α为30度，山坡高度为35米，需要准备多长的水管呢？同学们，你们可以将上述实际问题转换成什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？请同学们按下暂停键认真思考。
同学们思考好了吗？我们一起来看这道题。为了更好地表述这个问题，我们可以构建这样一个直角三角形。如图所示，把机井房设为A点，扬水站设为B点，过B点作A点所在水平面的垂线，垂足为C点，这样就构造出了Rt△ABC。将实际问题中的量对应到图形中，可知∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35米，要求AB的长度。用数学语言表示如下。
根据在直角三角形中，30度角所对的边等于斜边的一半，即∠A的对边与斜边的比$\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$，可得$AB = 2BC = 70$米，也就是说需要准备70米长的水管。
请同学们再思考一下，如果出水口的高度为50米，那么需要准备多长的水管呢？对，没错，需要准备100米长的水管。在Rt△$A B’C’$中，$B’C’ = 50$米，$AB’ = 100$米。这里同样利用了直角三角形30度角所对的直角边与斜边的比值是定值$\frac{1}{2}$。
既然含30度角的特殊直角三角形中，30度所对的边与斜边的比值是$\frac{1}{2}$，那含45度角的特殊直角三角形是否有类似的关系呢？请看问题：如图，任意画一个Rt△ABC，∠C = 90°，∠A = 45°，计算∠A的对边与斜边的比$\frac{BC}{AB}$，由此你能得出什么结论？请同学们在草稿纸中尝试计算推导。
相信聪明的你们一定已经得出结果了。我们一起来看：由题意可知，Rt△ABC是等腰直角三角形。由勾股定理得$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 2BC^2$，所以$AB = \sqrt{2}BC$。因此，$\frac{BC}{AB} = \frac{BC}{\sqrt{2}BC} = \frac{1}{\sqrt{2}}$，分母有理化后等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$。当然，此题也可以利用方程思想求解。假设$AC = BC = x$，$AB = \sqrt{2}x$，$\frac{BC}{AB} = \frac{x}{\sqrt{2}x}$，化简可得比值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。老师在这里就不详细展开说明了，感兴趣的同学可课后进行此方法的尝试推导。
在问题一和问题二中，出现的特殊直角三角形锐角的对边和斜边的比是一个定值。那么对于任意锐角度数的直角三角形，其锐角的对边与斜边的比值是否仍有类似规律呢？
一起来看问题三：任意画Rt△ABC和Rt△$A’B’C’$，使得∠C = ∠$C’$ = 90°，∠A = ∠$A’$，那么$\frac{BC}{AB}$与$\frac{B’C’}{A’B’}$有什么关系？你能解释一下吗？请同学们按下暂停键仔细思考。
同学们都思考好了吗？我们一起来看：因为∠C = ∠$C’$ = 90°，∠A = ∠$A’$，所以Rt△ABC相似于Rt△$A’B’C’$。由相似三角形对应边成比例可得$\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}$，根据比例的性质可得$\frac{BC}{AB} = \frac{B’C’}{A’B’}$。通过这个证明过程，我们能够发现：任意两个直角三角形中，当锐角度数相等时，该角对边与斜边的比也相等。
由此我们可以得出结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论三角形的大小如何，角A的对边与斜边的比也是一个固定值。在初中数学阶段，我们给这样的比值一个名称。
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA。这里我们令角A的对边为小写字母a，角B的对边为小写字母b，斜边为小写字母c，即$sinA = \frac{角A的对边}{斜边} = \frac{a}{c}$，那么$sinB = \frac{角B的对边}{斜边} = \frac{b}{c}$。
同学们请注意，正弦作为比值，它是没有单位的，而且当锐角A取确定的度数时，它的正弦都有唯一确定的值与其相对应。例如，当角A = 30°时，我们有$sinA = sin30° = \frac{1}{2}$；当角A = 45°时，我们有$sinA = sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
相信同学们对于正弦有了初步的了解，接下来我们完成这一组“练一练”，加深认识。